Номер 3, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Решите уравнение:

а) $\frac{2x + 5}{x^2 + x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x + 1} = 0;$

б) $\frac{x}{x - 3} + \frac{18}{x^2 - 9} = \frac{x}{x + 3};$

в) $\frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5};$

г) $\frac{15}{x^2 - 4x - 5} + \frac{9}{5x - x^2} = \frac{5}{x^2 - 1}.$

а) Решим уравнение $\frac{2x+5}{x^2+x} - \frac{2}{x} - \frac{3x}{x+1} = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.
$x^2+x = x(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq -1$.
$x \neq 0$.
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:
$\frac{2x+5}{x(x+1)} - \frac{2(x+1)}{x(x+1)} - \frac{3x \cdot x}{x(x+1)} = 0$

Теперь мы можем записать уравнение для числителя, так как дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ):
$(2x+5) - 2(x+1) - 3x^2 = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x + 5 - 2x - 2 - 3x^2 = 0$
$-3x^2 + 3 = 0$
$3x^2 = 3$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условиям ОДЗ.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq -1$), поэтому он является посторонним.

Ответ: $1$

б) Решим уравнение $\frac{x}{x-3} + \frac{18}{x^2-9} = \frac{x}{x+3}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю.
$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
$x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$.
$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:
$\frac{x}{x-3} + \frac{18}{(x-3)(x+3)} - \frac{x}{x+3} = 0$
$\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{18}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:
$x(x+3) + 18 - x(x-3) = 0$
$x^2 + 3x + 18 - x^2 + 3x = 0$
$6x + 18 = 0$
$6x = -18$
$x = -3$

Проверим корень по ОДЗ. Найденный корень $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$), следовательно, он является посторонним.

Ответ: корней нет

в) Решим уравнение $\frac{2}{x^2+10x+25} - \frac{10}{25-x^2} = \frac{1}{x-5}$.

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$x^2+10x+25 = (x+5)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.
$25-x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5) \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $x \neq -5$.
$x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
ОДЗ: $x \neq \pm 5$.

Преобразуем уравнение, учитывая разложение знаменателей:
$\frac{2}{(x+5)^2} - \frac{10}{-(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5}$
$\frac{2}{(x+5)^2} + \frac{10}{(x-5)(x+5)} - \frac{1}{x-5} = 0$

Общий знаменатель: $(x+5)^2(x-5)$. Приводим к общему знаменателю:
$\frac{2(x-5) + 10(x+5) - 1(x+5)^2}{(x+5)^2(x-5)} = 0$

Решаем уравнение для числителя:
$2(x-5) + 10(x+5) - (x^2+10x+25) = 0$
$2x - 10 + 10x + 50 - x^2 - 10x - 25 = 0$
$-x^2 + 2x + 15 = 0$
$x^2 - 2x - 15 = 0$
По теореме Виета: $x_1+x_2=2$, $x_1 \cdot x_2=-15$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq \pm 5$).
Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$

г) Решим уравнение $\frac{15}{x^2-4x-5} + \frac{9}{5x-x^2} = \frac{5}{x^2-1}$.

Разложим знаменатели на множители и найдем ОДЗ:
$x^2-4x-5 = (x-5)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $x \neq -1$.
$5x-x^2 = x(5-x) = -x(x-5) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 5$.
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
ОДЗ: $x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1, x \neq 5$.

Перепишем уравнение и перенесем все члены влево:
$\frac{15}{(x-5)(x+1)} - \frac{9}{x(x-5)} - \frac{5}{(x-1)(x+1)} = 0$

Общий знаменатель: $x(x-1)(x+1)(x-5)$. Приводим к общему знаменателю:
$\frac{15 \cdot x(x-1) - 9 \cdot (x-1)(x+1) - 5 \cdot x(x-5)}{x(x-1)(x+1)(x-5)} = 0$

Решаем уравнение для числителя:
$15x(x-1) - 9(x^2-1) - 5x(x-5) = 0$
$15x^2 - 15x - 9x^2 + 9 - 5x^2 + 25x = 0$
$(15-9-5)x^2 + (-15+25)x + 9 = 0$
$x^2 + 10x + 9 = 0$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-10$, $x_1 \cdot x_2=9$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -9$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq -1, 0, 1, 5$).
Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_2 = -9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-9$