Страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

15. Постройте график функции и опишите её свойства:

a) $f(x) = \frac{3x^2 - 3}{x + 1}$;

б) $f(x) = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}$.

График a):

График б):

1 $D(f)=$ $D(f)=$

2 $E(f)=$ $E(f)=$

3

4

5

6

7

a)

Для функции $f(x) = \frac{3x^2 - 3}{x + 1}$ сначала найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Теперь упростим выражение функции. Разложим числитель на множители: $3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.

Тогда функция принимает вид: $f(x) = \frac{3(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$.

Так как $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(x + 1)$, получая $f(x) = 3(x - 1) = 3x - 3$.

Таким образом, график функции — это прямая $y = 3x - 3$ с выколотой точкой при $x = -1$. Найдем ординату этой точки: $y(-1) = 3(-1) - 3 = -6$. Координаты выколотой точки: $(-1; -6)$.

Для построения графика прямой найдем две точки:

• При $x=0$, $y = 3(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• При $x=1$, $y = 3(1) - 3 = 0$. Точка $(1, 0)$.

График представляет собой прямую, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(1, 0)$, с выколотой точкой $(-1, -6)$.

Свойства функции:

1. D(f) = $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
2. E(f) = $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x) = 0 \Rightarrow 3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения, т.е. на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
6. Экстремумы: точек максимума и минимума нет.
7. Четность/нечетность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 3x - 3$ с выколотой точкой $(-1; -6)$. Свойства функции подробно описаны выше.

б)

Для функции $f(x) = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}$ найдем область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 2x \neq 0 \Rightarrow x(x-2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители: $8 - 4x = -4(x - 2)$ и $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

Функция принимает вид: $f(x) = \frac{-4(x - 2)}{x(x - 2)}$.

Так как $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$, получая $f(x) = -\frac{4}{x}$.

График функции — это гипербола $y = -\frac{4}{x}$ с выколотой точкой при $x=2$. Найдем ординату этой точки: $y(2) = -\frac{4}{2} = -2$. Координаты выколотой точки: $(2; -2)$.

График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox). Ветви расположены во II и IV координатных четвертях.

Свойства функции:

1. D(f) = $(-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.
2. E(f) = Множество значений функции $y=-4/x$ - это $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Исключая значение в выколотой точке $y=-2$, получаем $E(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Нули функции: $f(x) = 0 \Rightarrow -4/x = 0$. Решений нет. Нулей у функции нет.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x < 0$, т.е. на промежутке $(-\infty; 0)$; $f(x) < 0$ при $x > 0$, т.е. на промежутках $(0; 2) \cup (2; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из интервалов области определения: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
6. Экстремумы: точек максимума и минимума нет.
7. Четность/нечетность: функция общего вида, так как ее область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -4/x$ с выколотой точкой $(2; -2)$. Свойства функции подробно описаны выше.

1. Зная первые два члена геометрической прогрессии, найдите следующие за ними четыре члена.

а) $ \frac{1}{8}, \frac{1}{4}, $ ...

б) $ 4, 8, $ ...

а) Даны первые два члена геометрической прогрессии: $b_1 = \frac{1}{8}$ и $b_2 = \frac{1}{4}$.

Чтобы найти следующие члены, сначала нужно определить знаменатель прогрессии $q$. Знаменатель равен отношению второго члена к первому:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1/8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{1} = 2$.

Каждый следующий член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего члена на знаменатель $q$. Найдем следующие четыре члена:

Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 1 \cdot 2 = 2$.

Шестой член: $b_6 = b_5 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4$.

Таким образом, следующие четыре члена этой прогрессии: $\frac{1}{2}, 1, 2, 4$.

Ответ: $\frac{1}{2}, 1, 2, 4$.

б) Даны первые два члена геометрической прогрессии: $b_1 = 4$ и $b_2 = 8$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{8}{4} = 2$.

Теперь, зная знаменатель $q=2$, найдем следующие четыре члена, последовательно умножая предыдущий член на $q$.

Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16$.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot 2 = 32$.

Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 32 \cdot 2 = 64$.

Шестой член: $b_6 = b_5 \cdot q = 64 \cdot 2 = 128$.

Таким образом, следующие четыре члена этой прогрессии: $16, 32, 64, 128$.

Ответ: $16, 32, 64, 128$.

2. В геометрической прогрессии ($b_n$) первый член равен 12, а знаменатель равен 2. Найдите указанные члены прогрессии:

$a_3 = \text{....................}$, $a_6 = \text{....................}$

По условию задачи мы имеем дело с геометрической прогрессией $(b_n)$, у которой известен первый член $b_1 = 12$ и знаменатель $q = 2$. Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Хотя в задании для искомых членов используется обозначение $a_n$ ($a_3$ и $a_6$), будем считать, что это опечатка, и находить будем члены заданной прогрессии $(b_n)$, то есть $b_3$ и $b_6$.

a₃

Для нахождения третьего члена прогрессии ($b_3$) подставим в формулу значения $b_1 = 12$, $q = 2$ и $n = 3$:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = 12 \cdot 2^{2}$
Сначала вычисляем степень знаменателя:
$2^2 = 4$
Теперь умножаем результат на первый член:
$b_3 = 12 \cdot 4 = 48$
Таким образом, третий член прогрессии равен 48.

Ответ: 48

a₆

Для нахождения шестого члена прогрессии ($b_6$) подставим в ту же формулу значения $b_1 = 12$, $q = 2$ и $n = 6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 12 \cdot 2^{5}$
Вычисляем степень знаменателя:
$2^5 = 32$
Теперь умножаем результат на первый член:
$b_6 = 12 \cdot 32 = 384$
Следовательно, шестой член прогрессии равен 384.

Ответ: 384

3. Указаны два члена геометрической прогрессии. Впишите три предшествующих и три последующих члена этой прогрессии:

..........., ............, 8, 32, ............, ............, ..........

В задаче указаны два последовательных члена геометрической прогрессии: 8 и 32. Чтобы найти остальные члены, сначала необходимо определить знаменатель прогрессии ($q$).

Знаменатель геометрической прогрессии — это число, на которое умножается каждый член для получения следующего. Он находится как отношение последующего члена к предыдущему. Пусть $b_n = 8$, а $b_{n+1} = 32$. Тогда:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{32}{8} = 4$.
Знаменатель прогрессии равен 4.

Чтобы найти три последующих члена, нужно последовательно умножать последний известный член (32) на знаменатель $q = 4$:
Первый последующий член: $32 \cdot 4 = 128$
Второй последующий член: $128 \cdot 4 = 512$
Третий последующий член: $512 \cdot 4 = 2048$

Чтобы найти три предшествующих члена, нужно последовательно делить первый известный член (8) на знаменатель $q = 4$:
Первый предшествующий член (перед 8): $\frac{8}{4} = 2$
Второй предшествующий член (перед 2): $\frac{2}{4} = 0.5$
Третий предшествующий член (перед 0.5): $\frac{0.5}{4} = 0.125$

Теперь можно вписать найденные члены в исходную последовательность.
Ответ: 0.125, 0.5, 2, 8, 32, 128, 512, 2048.

4. Найдите первый член геометрической прогрессии ($p_n$), в которой:

a) $p_6=9$, $q=\frac{1}{3}$;

б) $p_5=0,5$, $q=-0,1.$

.................

4. Найдите первый член геометрической прогрессии ($p_n$), в которой:

a) $p_6=9$, $q=\frac{1}{3}$;

б) $p_5=0,5$, $q=-0,1.$

.............................

4. Найдите первый член геометрической прогрессии ($p_n$), в которой:

a) $p_6=9$, $q=\frac{1}{3}$;

б) $p_5=0,5$, $q=-0,1.$

...........................

Ответ: а) ................. б) .................

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии ($p_n$) выглядит так: $p_n = p_1 \cdot q^{n-1}$, где $p_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — номер члена.

Мы можем выразить первый член $p_1$ из этой формулы: $p_1 = \frac{p_n}{q^{n-1}}$.

а)

По условию дано: шестой член прогрессии $p_6 = 9$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения первого члена при $n=6$:

$p_1 = \frac{p_6}{q^{6-1}} = \frac{p_6}{q^5}$

$p_1 = \frac{9}{(\frac{1}{3})^5}$

Вычислим знаменатель дроби:

$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение для $p_1$:

$p_1 = \frac{9}{\frac{1}{243}} = 9 \cdot 243 = 2187$

Ответ: 2187

б)

По условию дано: пятый член прогрессии $p_5 = 0,5$ и знаменатель $q = -0,1$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения первого члена при $n=5$:

$p_1 = \frac{p_5}{q^{5-1}} = \frac{p_5}{q^4}$

$p_1 = \frac{0,5}{(-0,1)^4}$

Вычислим знаменатель дроби. Так как степень четная (4), знак минус исчезает:

$(-0,1)^4 = (0,1)^4 = 0,0001$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение для $p_1$:

$p_1 = \frac{0,5}{0,0001} = \frac{0,5 \cdot 10000}{0,0001 \cdot 10000} = \frac{5000}{1} = 5000$

Ответ: 5000