Номер 16, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 75. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив первое число на 5 и увеличив второе число на 5, а третье на 30, получится геометрическая прогрессия.

Пусть три числа, составляющие арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства представим их в виде $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию, сумма этих чисел равна 75:
$(a - d) + a + (a + d) = 75$
$3a = 75$
$a = 25$

Таким образом, второй член прогрессии равен 25, а сами числа имеют вид: $25 - d$, 25, $25 + d$.

Далее, согласно условию, из этих чисел получают новую последовательность, которая является геометрической прогрессией.
Первое число уменьшают на 5: $b_1 = (25 - d) - 5 = 20 - d$.
Второе число увеличивают на 5: $b_2 = 25 + 5 = 30$.
Третье число увеличивают на 30: $b_3 = (25 + d) + 30 = 55 + d$.

Полученные числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ составляют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим наши значения в это свойство:
$30^2 = (20 - d)(55 + d)$
$900 = 1100 + 20d - 55d - d^2$
$900 = 1100 - 35d - d^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$d^2 + 35d + 900 - 1100 = 0$
$d^2 + 35d - 200 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $d$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 1225 + 800 = 2025$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$.

Находим два возможных значения для разности $d$:
$d_1 = \frac{-35 + 45}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$d_2 = \frac{-35 - 45}{2 \cdot 1} = \frac{-80}{2} = -40$

Найдем два возможных набора чисел, подставив найденные значения $d$ в исходное представление чисел $25-d, 25, 25+d$.
1. Если $d=5$, то числа арифметической прогрессии: $25 - 5, 25, 25 + 5$, то есть 20, 25, 30.
2. Если $d=-40$, то числа арифметической прогрессии: $25 - (-40), 25, 25 + (-40)$, то есть 65, 25, -15.

Ответ: 20, 25, 30 или 65, 25, -15.