Номер 12, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Между числами 3 и 192 вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами составляют геометрическую прогрессию.

Рассмотрите случаи:

а) все члены прогрессии — положительные числа;

б) в прогрессии чередуются положительные и отрицательные числа.

Ответ:

а) .........................

б) .........................

Пусть искомые числа вместе с данными числами 3 и 192 образуют геометрическую прогрессию $b_n$. Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$. Поскольку между 3 и 192 нужно вставить пять чисел, общее количество членов в прогрессии составляет $1 + 5 + 1 = 7$. Таким образом, седьмой член прогрессии $b_7 = 192$.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Для седьмого члена прогрессии имеем: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}$ $192 = 3 \cdot q^6$

Из этого уравнения найдем знаменатель прогрессии $q$: $q^6 = \frac{192}{3}$ $q^6 = 64$ Уравнение имеет два действительных корня: $q = \sqrt[6]{64} = 2$ и $q = -\sqrt[6]{64} = -2$.

Теперь рассмотрим оба случая, указанные в условии задачи.

а) все члены прогрессии — положительные числа

Для того чтобы все члены прогрессии были положительными, при положительном первом члене ($b_1 = 3 > 0$) знаменатель прогрессии $q$ также должен быть положительным. Следовательно, выбираем значение $q = 2$. Найдем пять вставляемых чисел, которые являются членами прогрессии со второго по шестой:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot 2 = 6$
$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 2 = 12$
$b_4 = b_3 \cdot q = 12 \cdot 2 = 24$
$b_5 = b_4 \cdot q = 24 \cdot 2 = 48$
$b_6 = b_5 \cdot q = 48 \cdot 2 = 96$
Проверка: $b_7 = b_6 \cdot q = 96 \cdot 2 = 192$, что соответствует условию.

Ответ: 6, 12, 24, 48, 96.

б) в прогрессии чередуются положительные и отрицательные числа

Для того чтобы знаки членов прогрессии чередовались, при положительном первом члене ($b_1 = 3 > 0$) знаменатель прогрессии $q$ должен быть отрицательным. Следовательно, выбираем значение $q = -2$. Найдем пять вставляемых чисел:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (-2) = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-6) \cdot (-2) = 12$
$b_4 = b_3 \cdot q = 12 \cdot (-2) = -24$
$b_5 = b_4 \cdot q = (-24) \cdot (-2) = 48$
$b_6 = b_5 \cdot q = 48 \cdot (-2) = -96$
Проверка: $b_7 = b_6 \cdot q = (-96) \cdot (-2) = 192$, что соответствует условию.

Ответ: -6, 12, -24, 48, -96.