Номер 1, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии ($b_n$), в которой:

а) $b_1=3, q=2;$

б) $b_1=27, q=\frac{1}{3}$.

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии ($S_5$) используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество членов.

В обоих случаях нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $n=5$.

а)

Дано: $b_1 = 3$, $q = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_5 = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1}$

Сначала вычисляем степень: $2^5 = 32$.

Теперь подставляем это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{3(32 - 1)}{1} = 3 \times 31 = 93$.

Ответ: $93$.

б)

Дано: $b_1 = 27$, $q = \frac{1}{3}$.

Поскольку знаменатель $q < 1$, удобнее использовать альтернативную формулу, чтобы избежать отрицательных чисел в числителе и знаменателе:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставляем наши значения:

$S_5 = \frac{27(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}}$

Вычисляем степень: $(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$.

Выполняем вычитание в числителе и знаменателе:

$1 - (\frac{1}{3})^5 = 1 - \frac{1}{243} = \frac{243}{243} - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}$

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь подставляем полученные дроби в основное выражение:

$S_5 = \frac{27 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

Упростим числитель: $27 \cdot \frac{242}{243} = \frac{27 \cdot 242}{243}$. Так как $243 = 27 \cdot 9$, то $\frac{27 \cdot 242}{27 \cdot 9} = \frac{242}{9}$.

Получаем:

$S_5 = \frac{\frac{242}{9}}{\frac{2}{3}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$S_5 = \frac{242}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{121 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{121}{3}$.

Ответ: $\frac{121}{3}$.