Номер 14, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, в которой разность между четвёртым и вторым членами равна 96, а разность между пятым и третьим членами равна 288.

a) 0 1

б) y

0 1 x

1

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, разность между четвёртым и вторым членами равна 96. Запишем это в виде уравнения:

$b_4 - b_2 = 96$

Подставим выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_1 q^3 - b_1 q = 96$

Вынесем общий множитель $b_1$ за скобки:

$b_1(q^3 - q) = 96$ (1)

Также по условию, разность между пятым и третьим членами равна 288:

$b_5 - b_3 = 288$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$b_1 q^4 - b_1 q^2 = 288$

Вынесем общий множитель $b_1$ за скобки:

$b_1(q^4 - q^2) = 288$

В выражении в скобках можно вынести $q$:

$b_1 q(q^3 - q) = 288$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} b_1(q^3 - q) = 96 \\ q \cdot [b_1(q^3 - q)] = 288 \end{cases} $

Подставим левую часть первого уравнения (равную 96) во второе уравнение:

$q \cdot 96 = 288$

Отсюда находим знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{288}{96} = 3$

Теперь, зная $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$ из первого уравнения:

$b_1(3^3 - 3) = 96$

$b_1(27 - 3) = 96$

$b_1 \cdot 24 = 96$

$b_1 = \frac{96}{24} = 4$

Итак, первый член прогрессии $b_1 = 4$, а знаменатель $q = 3$.

Ответ: первый член равен 4, знаменатель равен 3.