Номер 8, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Найдите пропущенные члены геометрической прогрессии

4, ...., ...., ...., 324.

.........................

.........................

.........................

Ответ: 4, ...., ...., ...., 324

или 4, ...., ...., ...., 324.

Пусть данная геометрическая прогрессия обозначается $(b_n)$. Из условия задачи известно, что ее первый член $b_1 = 4$. В последовательности 4, ..., ..., ..., 324 пропущено три члена, это означает, что число 324 является пятым членом прогрессии ($b_5$).

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Используем эту формулу для нахождения знаменателя $q$, подставив известные значения $b_1=4$ и $b_5=324$: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$ $324 = 4 \cdot q^4$

Решим полученное уравнение: $q^4 = \frac{324}{4}$ $q^4 = 81$ Так как показатель степени (4) является четным числом, данное уравнение имеет два действительных корня: $q_1 = \sqrt[4]{81} = 3$ $q_2 = -\sqrt[4]{81} = -3$

Таким образом, существуют две возможные геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $q = 3$
Найдем пропущенные члены, последовательно умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q=3$:

• $b_2 = b_1 \cdot q = 4 \cdot 3 = 12$
• $b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot 3 = 36$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot 3 = 108$

Прогрессия в этом случае: 4, 12, 36, 108, 324.

Случай 2: $q = -3$
Найдем пропущенные члены, последовательно умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q=-3$:

• $b_2 = b_1 \cdot q = 4 \cdot (-3) = -12$
• $b_3 = b_2 \cdot q = (-12) \cdot (-3) = 36$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot (-3) = -108$

Прогрессия в этом случае: 4, -12, 36, -108, 324.

Ответ: Пропущенными членами могут быть либо 12, 36, 108, либо -12, 36, -108. Полные последовательности выглядят так: 4, 12, 36, 108, 324 или 4, -12, 36, -108, 324.