Номер 7, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Какими числами, положительными или отрицательными, являются члены геометрической прогрессии, стоящие на местах с чётными номерами, если $a_1 < 0$ и $q < 0$?

Ответ: ...................

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

По условию задачи даны:

1. Первый член прогрессии отрицательный: $a_1 < 0$.

2. Знаменатель прогрессии отрицательный: $q < 0$.

Нас интересует знак членов прогрессии, стоящих на местах с четными номерами. Пусть $n$ — четное число. Это означает, что $n$ можно представить как $n = 2k$, где $k$ — натуральное число ($k = 1, 2, 3, \ldots$).

Рассмотрим показатель степени в формуле, $n-1$. Если $n$ — четное число, то $n-1$ будет нечетным числом. Например, для $n=2$ показатель равен $1$; для $n=4$ показатель равен $3$; для $n=6$ показатель равен $5$, и так далее.

Теперь определим знак выражения $q^{n-1}$. Поскольку $q < 0$ (отрицательное число), а показатель степени $n-1$ — нечетное число, то результат возведения в степень также будет отрицательным числом. То есть, $q^{n-1} < 0$.

Наконец, определим знак самого члена прогрессии $a_n$ по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Мы перемножаем два числа: $a_1$ (которое по условию отрицательное) и $q^{n-1}$ (которое, как мы выяснили, тоже отрицательное).

Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом.

Следовательно, $a_n = (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное}$.

Таким образом, все члены данной геометрической прогрессии, стоящие на местах с четными номерами, будут положительными.

Ответ: Члены геометрической прогрессии, стоящие на местах с чётными номерами, являются положительными числами.