Номер 11, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. В геометрической прогрессии разность между третьим и первым членами равна 15, а разность между пятым и третьим членами равна 240. Найдите сумму первых шести членов этой геометрической прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, разность между третьим и первым членами равна 15. Запишем это в виде уравнения:

$b_3 - b_1 = 15$

Подставим в это уравнение формулу n-го члена:

$b_1 q^{3-1} - b_1 = 15$

$b_1 q^2 - b_1 = 15$

$b_1(q^2 - 1) = 15$ (1)

Также, по условию, разность между пятым и третьим членами равна 240:

$b_5 - b_3 = 240$

Снова подставим формулу n-го члена:

$b_1 q^{5-1} - b_1 q^{3-1} = 240$

$b_1 q^4 - b_1 q^2 = 240$

$b_1 q^2(q^2 - 1) = 240$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1(q^2 - 1) = 15 \\ b_1 q^2(q^2 - 1) = 240 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое. Это допустимо, так как правая часть первого уравнения (15) не равна нулю, что означает $b_1 \neq 0$ и $q^2 - 1 \neq 0$.

$\frac{b_1 q^2(q^2 - 1)}{b_1(q^2 - 1)} = \frac{240}{15}$

После сокращения получаем:

$q^2 = 16$

Отсюда следует, что знаменатель прогрессии $q$ может принимать два значения: $q = 4$ или $q = -4$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q^2 = 16$ в первое уравнение:

$b_1(16 - 1) = 15$

$15 b_1 = 15$

$b_1 = 1$

Нам необходимо найти сумму первых шести членов прогрессии ($S_6$). Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Рассмотрим оба возможных случая для $q$.

1. Если $q = 4$:

$S_6 = \frac{1 \cdot (4^6 - 1)}{4 - 1} = \frac{4096 - 1}{3} = \frac{4095}{3} = 1365$.

2. Если $q = -4$:

$S_6 = \frac{1 \cdot ((-4)^6 - 1)}{-4 - 1} = \frac{4096 - 1}{-5} = \frac{4095}{-5} = -819$.

Оба случая удовлетворяют условиям задачи, следовательно, существуют две такие прогрессии. Поэтому задача имеет два решения.

Ответ: 1365 или -819.