Номер 13, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Решите уравнение $5+8+11+...+x=75$, если известно, что слагаемые в левой его части составляют арифметическую прогрессию.

В левой части уравнения представлена сумма членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму как $S_n$. По условию, $S_n = 75$.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 5$. Второй член $a_2 = 8$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 8 - 5 = 3$.

Последний член прогрессии обозначен как $x$, то есть $a_n = x$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив известные значения, мы можем выразить $x$ через количество членов $n$:

$x = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.

Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $S_n = 75$, $a_1 = 5$ и $a_n = x$ в эту формулу:

$75 = \frac{5 + x}{2} \cdot n$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $n$:

$\begin{cases} x = 3n + 2 \\ 75 = \frac{5+x}{2} \cdot n \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$75 = \frac{5 + (3n + 2)}{2} \cdot n$

$75 = \frac{7 + 3n}{2} \cdot n$

Умножим обе части уравнения на 2:

$150 = (7 + 3n) \cdot n$

$150 = 7n + 3n^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3n^2 + 7n - 150 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $n$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-150) = 49 + 1800 = 1849$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1849} = 43$.

Теперь найдем корни уравнения для $n$ по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-7 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$.

$n_2 = \frac{-7 - 43}{2 \cdot 3} = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3}$.

Поскольку $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, нам подходит только корень $n = 6$.

Теперь, зная количество членов прогрессии ($n=6$), найдем значение $x$, которое является последним, шестым членом прогрессии ($a_6$):

$x = a_6 = a_1 + (n-1)d = 5 + (6-1) \cdot 3 = 5 + 5 \cdot 3 = 5 + 15 = 20$.

Ответ: $x=20$.