Номер 7, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. В январе мастерская переплела 120 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 2 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская за год?

Решение. Число книг, которые мастерская переплела в январе, феврале и т. д., составляет арифметическую прогрессию, в которой

$a_1 = .............., d = ..............$

Решение

Количество книг, которое мастерская переплетала каждый месяц, представляет собой последовательность чисел, образующую арифметическую прогрессию.

Определим параметры этой прогрессии:
Первый член прогрессии $a_1$ — это количество книг, переплетенных в первый месяц (январь). Согласно условию, $a_1 = 120$.
Разность прогрессии $d$ — это величина, на которую увеличивается количество переплетенных книг каждый следующий месяц. Согласно условию, $d = 2$.
Нам нужно найти общее количество книг за год. В году 12 месяцев, поэтому количество членов прогрессии $n = 12$.

Чтобы найти общее количество книг, переплетенных за год, необходимо вычислить сумму первых 12 членов этой арифметической прогрессии ($S_{12}$).

Воспользуемся формулой для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь подставим наши значения ($a_1 = 120, d = 2, n = 12$) в формулу:
$S_{12} = \frac{2 \cdot 120 + 2 \cdot (12-1)}{2} \cdot 12$

Проведем вычисления:
$S_{12} = \frac{240 + 2 \cdot 11}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{240 + 22}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{262}{2} \cdot 12$
$S_{12} = 131 \cdot 12$
$S_{12} = 1572$

Таким образом, общее количество книг, которое мастерская переплела за год, составляет 1572.

Ответ: 1572.