Номер 5, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Докажите, что последовательность, заданная формулой $a_n = 3,6n$, является арифметической прогрессией, и найдите сумму первых сорока её членов.

Решение. Найдём $a_{n+1}$ и покажем, что разность $a_{n+1} - a_n$ не зависит от $n$:

........................

........................

........................

........................

........................

Ответ: ..............................

1. Доказательство того, что последовательность является арифметической прогрессией

По определению, последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального $n$ разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии и обозначается $d$. То есть, необходимо показать, что $a_{n+1} - a_n = d$, где $d$ — константа.

Дана последовательность, заданная формулой $a_n = 3,6n$.

Найдём $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу вместо $n$ выражение $(n+1)$:

$a_{n+1} = 3,6(n+1) = 3,6n + 3,6$

Теперь вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = (3,6n + 3,6) - 3,6n = 3,6$

Так как разность $a_{n+1} - a_n$ равна постоянному числу $3,6$ и не зависит от $n$, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 3,6$. Что и требовалось доказать.

2. Нахождение суммы первых сорока членов

Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ вычисляется по формуле:

$S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k$

В нашем случае требуется найти сумму первых сорока членов, то есть $k=40$. Для этого нам нужно найти первый член прогрессии $a_1$ и сороковой член $a_{40}$.

Найдём первый член $a_1$, подставив $n=1$ в исходную формулу:

$a_1 = 3,6 \cdot 1 = 3,6$

Найдём сороковой член $a_{40}$, подставив $n=40$ в исходную формулу:

$a_{40} = 3,6 \cdot 40 = 144$

Теперь подставим найденные значения $a_1$, $a_{40}$ и $k=40$ в формулу суммы:

$S_{40} = \frac{3,6 + 144}{2} \cdot 40 = \frac{147,6}{2} \cdot 40 = 73,8 \cdot 40 = 2952$

Ответ: доказано, что последовательность является арифметической прогрессией; сумма первых сорока её членов равна 2952.