Номер 15, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 231 $см^3$. Найдите длины рёбер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, зная, что они составляют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна 21 $см$.

Решение.

Решение.
Пусть длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, исходящих из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$. Эти рёбра являются измерениями параллелепипеда (длина, ширина, высота).

По условию задачи, объём параллелепипеда равен 231 см³. Формула объёма:
$V = a \cdot b \cdot c$
Следовательно, $a \cdot b \cdot c = 231$.

Также известно, что длины рёбер $a$, $b$ и $c$ составляют арифметическую прогрессию. Удобно представить члены арифметической прогрессии в виде $x - d$, $x$, $x + d$, где $x$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.
Пусть $a = x - d$, $b = x$, $c = x + d$.

По условию, сумма этих длин равна 21 см:
$a + b + c = (x - d) + x + (x + d) = 21$
$3x = 21$
$x = \frac{21}{3} = 7$
Таким образом, мы нашли средний член прогрессии, который является длиной одного из рёбер: $b = 7$ см.

Теперь подставим найденное значение $x=7$ и выражения для $a$ и $c$ в формулу объёма:
$(7 - d) \cdot 7 \cdot (7 + d) = 231$
Разделим обе части уравнения на 7:
$(7 - d)(7 + d) = \frac{231}{7}$
$(7 - d)(7 + d) = 33$
Воспользуемся формулой разности квадратов $(m-n)(m+n) = m^2 - n^2$:
$7^2 - d^2 = 33$
$49 - d^2 = 33$
$d^2 = 49 - 33$
$d^2 = 16$
$d = \sqrt{16} = 4$ (Так как длины рёбер — положительные числа, мы можем взять положительное значение для $d$. Выбор $d = -4$ просто поменяет местами первое и третье ребро).

Теперь найдём длины рёбер:
$a = x - d = 7 - 4 = 3$ см
$b = x = 7$ см
$c = x + d = 7 + 4 = 11$ см

Проверим:
Сумма длин: $3 + 7 + 11 = 21$ см.
Объём: $3 \cdot 7 \cdot 11 = 21 \cdot 11 = 231$ см³.
Условия задачи выполнены.

Ответ: длины рёбер параллелепипеда равны 3 см, 7 см и 11 см.