Номер 13, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. В арифметической прогрессии $\frac{a_5}{a_3}=\frac{7}{5}$. Докажите, что $a_{16}=2a_7$.

Пусть $\{a_n\}$ — заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, выразим члены $a_3$ и $a_5$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

По условию задачи дано соотношение $\frac{a_5}{a_3} = \frac{7}{5}$. Подставим в него полученные выражения для $a_3$ и $a_5$:
$\frac{a_1 + 4d}{a_1 + 2d} = \frac{7}{5}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5 \cdot (a_1 + 4d) = 7 \cdot (a_1 + 2d)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы найти связь между $a_1$ и $d$:
$5a_1 + 20d = 7a_1 + 14d$
$20d - 14d = 7a_1 - 5a_1$
$6d = 2a_1$
$a_1 = 3d$

Теперь нам необходимо доказать, что $a_{16} = 2a_7$. Снова воспользуемся формулой n-го члена, чтобы выразить $a_{16}$ и $a_7$:
$a_{16} = a_1 + (16-1)d = a_1 + 15d$
$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Подставим в эти выражения найденное ранее соотношение $a_1 = 3d$:
$a_{16} = (3d) + 15d = 18d$
$a_7 = (3d) + 6d = 9d$

Проверим, выполняется ли равенство $a_{16} = 2a_7$, подставив полученные значения:
$18d = 2 \cdot (9d)$
$18d = 18d$

Мы получили верное тождество, следовательно, исходное равенство $a_{16} = 2a_7$ доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.