Номер 17, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Первый член арифметической прогрессии равен 3. Найдите третий и четвёртый её члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

Пусть $a_n$ — искомая арифметическая прогрессия, $d$ — её разность. По условию, первый член прогрессии $a_1 = 3$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим третий и четвёртый члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = 3 + 2d$
$a_4 = a_1 + (4-1)d = 3 + 3d$

По условию задачи, $a_3$ и $a_4$ являются квадратами двух последовательных натуральных чисел. Пусть эти числа — $k$ и $k+1$, где $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}, k \ge 1$).

Разность между четвёртым и третьим членами равна разности прогрессии $d$:
$d = a_4 - a_3$
Если прогрессия возрастающая ($d > 0$), то $a_4 > a_3$, и тогда мы можем положить $a_3 = k^2$ и $a_4 = (k+1)^2$. Если прогрессия убывающая ($d < 0$), то $a_4 < a_3$, и тогда $a_3 = (k+1)^2$ и $a_4 = k^2$. Рассмотрим первый, наиболее вероятный случай.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 3 + 2d = k^2 \\ 3 + 3d = (k+1)^2 \end{cases}$

Для решения системы выразим $d$ из каждого уравнения.
Из первого уравнения: $2d = k^2 - 3 \Rightarrow d = \frac{k^2 - 3}{2}$.
Из второго уравнения: $3d = (k+1)^2 - 3 \Rightarrow d = \frac{(k+1)^2 - 3}{3}$.

Приравняем правые части полученных выражений для $d$:
$\frac{k^2 - 3}{2} = \frac{(k+1)^2 - 3}{3}$

Решим это уравнение относительно $k$. Для этого умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
$3(k^2 - 3) = 2((k+1)^2 - 3)$
Раскроем скобки:
$3k^2 - 9 = 2(k^2 + 2k + 1 - 3)$
$3k^2 - 9 = 2(k^2 + 2k - 2)$
$3k^2 - 9 = 2k^2 + 4k - 4$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$, перенеся все члены в левую часть:
$3k^2 - 2k^2 - 4k - 9 + 4 = 0$
$k^2 - 4k - 5 = 0$

Найдём корни этого квадратного уравнения. Можно использовать разложение на множители (подыскиваем два числа, произведение которых равно -5, а сумма равна 4):
$(k-5)(k+1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $k$: $k_1 = 5$ и $k_2 = -1$.

Поскольку по определению $k$ — натуральное число, то значение $k = -1$ не является решением задачи. Следовательно, единственно верное решение — $k=5$.

Теперь мы можем найти искомые члены прогрессии:
$a_3 = k^2 = 5^2 = 25$
$a_4 = (k+1)^2 = (5+1)^2 = 6^2 = 36$

Для проверки найдём разность $d$:
$d = a_4 - a_3 = 36 - 25 = 11$.
Разность положительна ($d=11>0$), что соответствует нашему предположению о возрастающей прогрессии.
Проверим значение первого члена: $a_1 = a_3 - 2d = 25 - 2 \cdot 11 = 25 - 22 = 3$. Это совпадает с условием задачи.

Ответ: третий член прогрессии равен 25, четвёртый — 36.