Номер 16, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Число 15 встречается в каждой арифметической прогрессии ($a_n$) и ($b_m$):

1, 8, 15, ..., $a_n$, ...;

9, 15, 21, ..., $b_m$, ... .

Укажите следующее число, которое встретится в обеих прогрессиях, и номер соответствующего члена каждой из этих прогрессий.

Решение. Выразим $a_n$ через первый член и разность прогрессии:

$a_n = \dots$ . Аналогично $b_m = \dots$

По условию $a_n = b_m$, т. е. $\dots$

Выразим отсюда $n$ через $m:$

Выразим $a_n$ через первый член и разность прогрессии

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$: 1, 8, 15, ...
Ее первый член $a_1 = 1$.
Разность прогрессии $d_a = a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив значения для прогрессии $(a_n)$, получим:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 7 = 1 + 7n - 7 = 7n - 6$.
Ответ: $a_n = 7n - 6$.

Аналогично $b_m$

Дана арифметическая прогрессия $(b_m)$: 9, 15, 21, ...
Ее первый член $b_1 = 9$.
Разность прогрессии $d_b = b_2 - b_1 = 15 - 9 = 6$.
Подставив значения для прогрессии $(b_m)$ в формулу m-го члена, получим:
$b_m = 9 + (m-1) \cdot 6 = 9 + 6m - 6 = 6m + 3$.
Ответ: $b_m = 6m + 3$.

Укажите следующее число, которое встретится в обеих прогрессиях, и номер соответствующего члена каждой из этих прогрессий

Общие члены двух прогрессий должны удовлетворять равенству $a_n = b_m$.
$7n - 6 = 6m + 3$
$7n - 6m = 9$
Последовательность общих членов двух арифметических прогрессий сама является арифметической прогрессией. Ее разность равна наименьшему общему кратному (НОК) разностей исходных прогрессий.
Разности прогрессий: $d_a = 7$ и $d_b = 6$.
Найдем их НОК. Так как числа 7 и 6 взаимно простые, их НОК равен их произведению:
$\text{НОК}(7, 6) = 7 \times 6 = 42$.
Это означает, что общие члены появляются с шагом 42. По условию, первое общее число равно 15. Чтобы найти следующее общее число, нужно к первому общему числу прибавить найденную разность:
Следующее общее число = $15 + 42 = 57$.
Теперь найдем номера (индексы) этого числа в каждой из исходных прогрессий.
Для прогрессии $(a_n)$ найдем $n$, при котором $a_n = 57$:
$7n - 6 = 57$
$7n = 57 + 6$
$7n = 63$
$n = 9$
Для прогрессии $(b_m)$ найдем $m$, при котором $b_m = 57$:
$6m + 3 = 57$
$6m = 57 - 3$
$6m = 54$
$m = 9$
Ответ: Следующее общее число — 57. Оно является 9-м членом прогрессии $(a_n)$ и 9-м членом прогрессии $(b_m)$.