Номер 12, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Верно ли, что если числа $a$, $b$, $c$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то числа $a^2+ab+b^2$, $a^2+ac+c^2$, $b^2+bc+c^2$ также являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии?

Чтобы проверить, является ли данное утверждение верным, воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Дано: числа $a$, $b$, $c$ — три последовательных члена арифметической прогрессии.Это означает, что средний член $b$ является средним арифметическим двух крайних, то есть выполняется равенство:$b = \frac{a+c}{2}$, или, что то же самое, $2b = a+c$.

Нужно проверить: образуют ли числа $x = a^2+ab+b^2$, $y = a^2+ac+c^2$ и $z = b^2+bc+c^2$ также арифметическую прогрессию.Для того чтобы эти три числа были последовательными членами арифметической прогрессии, для них должно выполняться аналогичное свойство: средний член $y$ должен быть равен среднему арифметическому двух крайних, то есть должно выполняться равенство:$2y = x+z$.

Подставим выражения для $x$, $y$ и $z$ в это равенство и проверим, является ли оно тождеством при условии, что $2b = a+c$.$2(a^2+ac+c^2) = (a^2+ab+b^2) + (b^2+bc+c^2)$

Преобразуем правую часть равенства:$(a^2+ab+b^2) + (b^2+bc+c^2) = a^2 + ab + 2b^2 + bc + c^2$Сгруппируем слагаемые:$a^2 + c^2 + 2b^2 + (ab+bc)$Вынесем $b$ за скобки в последней группе:$a^2 + c^2 + 2b^2 + b(a+c)$

Теперь воспользуемся условием, что $a$, $b$, $c$ — члены арифметической прогрессии, то есть $a+c = 2b$. Подставим это в полученное выражение:$a^2 + c^2 + 2b^2 + b(2b) = a^2 + c^2 + 2b^2 + 2b^2 = a^2 + c^2 + 4b^2$

Снова вернемся к условию $a+c=2b$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:$(a+c)^2 = (2b)^2$$a^2+2ac+c^2 = 4b^2$

Подставим выражение для $4b^2$ в нашу правую часть:$a^2 + c^2 + (a^2+2ac+c^2) = 2a^2 + 2ac + 2c^2$

Теперь сравним полученный результат с левой частью проверяемого равенства:Левая часть: $2(a^2+ac+c^2) = 2a^2+2ac+c^2$

Правая часть после преобразований: $2a^2+2ac+c^2$

Левая и правая части равны. Это означает, что равенство $2y = x+z$ выполняется всегда, когда выполняется условие $2b=a+c$.Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно, данные числа являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.