Номер 14, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Сумма трёх последовательных членов арифметической прогрессии равна 42, а сумма их квадратов равна 638. Найдите эти члены прогрессии.

Решение. Обозначим через $a$ среднее из этих трёх чисел, а через $d$ разность прогрессии.

Решение.

Обозначим средний из трёх последовательных членов арифметической прогрессии через $a$, а разность прогрессии через $d$. Тогда эти три члена можно записать как $(a-d)$, $a$, и $(a+d)$.

По условию, сумма этих трёх членов равна 42. Составим первое уравнение:
$(a - d) + a + (a + d) = 42$
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
$3a = 42$
Отсюда находим значение среднего члена:
$a = \frac{42}{3} = 14$

Также по условию, сумма их квадратов равна 638. Составим второе уравнение:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 638$
Подставим найденное значение $a = 14$ в это уравнение:
$(14 - d)^2 + 14^2 + (14 + d)^2 = 638$
Раскроем квадраты:
$(196 - 28d + d^2) + 196 + (196 + 28d + d^2) = 638$
Упростим выражение. Члены $-28d$ и $+28d$ взаимно уничтожаются:
$196 + 196 + 196 + 2d^2 = 638$
$588 + 2d^2 = 638$
$2d^2 = 638 - 588$
$2d^2 = 50$
$d^2 = 25$
Следовательно, разность прогрессии $d$ может принимать два значения: $d = 5$ или $d = -5$.

Теперь найдем сами члены прогрессии для каждого из случаев.
1. Если $d = 5$, то члены прогрессии:
$a - d = 14 - 5 = 9$
$a = 14$
$a + d = 14 + 5 = 19$
Получаем числа: 9, 14, 19.

2. Если $d = -5$, то члены прогрессии:
$a - d = 14 - (-5) = 19$
$a = 14$
$a + d = 14 + (-5) = 9$
Получаем числа: 19, 14, 9.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор чисел.
Проверка:
Сумма: $9 + 14 + 19 = 42$.
Сумма квадратов: $9^2 + 14^2 + 19^2 = 81 + 196 + 361 = 638$.
Оба условия выполнены.

Ответ: 9, 14, 19.