Номер 9, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Докажите, что последовательность, заданная формулой $a_n = 4,2n + 3$, является арифметической прогрессией, и найдите сумму её членов с десятого по девятнадцатый.

Доказательство того, что последовательность является арифметической прогрессией

По определению, последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом является постоянной величиной. Эта величина называется разностью прогрессии и обозначается $d$. Для последовательности, заданной формулой $a_n = 4,2n + 3$, найдем разность $a_{n+1} - a_n$.
Сначала запишем формулу для $(n+1)$-го члена последовательности:
$a_{n+1} = 4,2(n+1) + 3 = 4,2n + 4,2 + 3$.
Теперь вычислим разность:
$d = a_{n+1} - a_n = (4,2n + 4,2 + 3) - (4,2n + 3) = 4,2n + 7,2 - 4,2n - 3 = 4,2$.
Поскольку разность $a_{n+1} - a_n$ равна постоянному числу $4,2$ и не зависит от номера члена $n$, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией, так как разность между её последующим и предыдущим членами постоянна и равна $d = 4,2$.

Нахождение суммы её членов с десятого по девятнадцатый

Требуется найти сумму членов прогрессии с десятого ($a_{10}$) по девятнадцатый ($a_{19}$) включительно. Эта сумма является суммой конечного числа членов арифметической прогрессии.
Количество членов в этой сумме равно $k = 19 - 10 + 1 = 10$.
Сумму можно найти по формуле суммы $k$ членов арифметической прогрессии: $S = \frac{(a_{первый} + a_{последний}) \cdot k}{2}$.
В данном случае первым членом является $a_{10}$, а последним — $a_{19}$. Найдем их значения, используя формулу $a_n = 4,2n + 3$:
$a_{10} = 4,2 \cdot 10 + 3 = 42 + 3 = 45$.
$a_{19} = 4,2 \cdot 19 + 3 = 79,8 + 3 = 82,8$.
Теперь подставим найденные значения в формулу суммы:
$S = \frac{(a_{10} + a_{19}) \cdot k}{2} = \frac{(45 + 82,8) \cdot 10}{2}$.
Вычислим значение суммы:
$S = \frac{127,8 \cdot 10}{2} = \frac{1278}{2} = 639$.

Ответ: 639.