Номер 12, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. В арифметической прогрессии $\frac{a_7}{a_3}=5$, а сумма первых семи членов равна 63. Найдите первый член и разность прогрессии.

Решение. Из равенства $\frac{a_7}{a_3}=5$ выразим $a_1$ через $d$:

По условию $S_7 = 63$, т. е.

Ответ:

Решение. Из равенства $\frac{a_7}{a_3} = 5$ выразим $a_1$ через $d$:

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Выразим седьмой и третий члены прогрессии:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство $\frac{a_7}{a_3} = 5$:

$\frac{a_1 + 6d}{a_1 + 2d} = 5$

Для решения этого уравнения умножим обе части на знаменатель $(a_1 + 2d)$, при условии, что $a_3 \neq 0$:

$a_1 + 6d = 5(a_1 + 2d)$

$a_1 + 6d = 5a_1 + 10d$

Сгруппируем слагаемые с $a_1$ в левой части, а с $d$ — в правой:

$a_1 - 5a_1 = 10d - 6d$

$-4a_1 = 4d$

Отсюда находим связь между $a_1$ и $d$:

$a_1 = -d$

По условию $S_7=63$, т. е.

Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим в эту формулу значения $n=7$ и $S_7=63$:

$S_7 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7 = 63$

$\frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = 63$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(a_1 + 3d)}{2} \cdot 7 = 63$

$(a_1 + 3d) \cdot 7 = 63$

Разделим обе части уравнения на 7:

$a_1 + 3d = 9$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a_1 = -d \\ a_1 + 3d = 9 \end{cases}$

Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:

$(-d) + 3d = 9$

$2d = 9$

$d = \frac{9}{2} = 4.5$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$ из первого уравнения системы:

$a_1 = -d = -4.5$

Ответ: первый член прогрессии $a_1 = -4.5$, разность прогрессии $d = 4.5$.