Страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

1. Найдите область определения функции, заданной формулой:

a) $y = 5x^2 - x$

б) $y = \sqrt{3x - 8}$

в) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}$

г) $y = \frac{6 - x}{6 + x^2}$

Ответ: a) б) в) г)

а) Дана функция $y = 5x^2 - x$.

Эта функция является многочленом (квадратичной функцией). Выражение $5x^2 - x$ определено для любых действительных значений переменной $x$, так как не содержит операций деления на переменную или извлечения корня четной степени из выражения с переменной, которые могли бы ограничить область определения.

Следовательно, область определения этой функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

б) Дана функция $y = \sqrt{3x - 8}$.

Область определения этой функции ограничена условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел.

Решим неравенство:

$3x - 8 \ge 0$

$3x \ge 8$

$x \ge \frac{8}{3}$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные $\frac{8}{3}$.

Ответ: $D(y) = [\frac{8}{3}; +\infty)$

в) Дана функция $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}$.

Эта функция является дробно-рациональной. Область определения такой функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль, так как деление на ноль не определено.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Следовательно, $x = -1$ не входит в область определения функции. Область определения — это все действительные числа, кроме $-1$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$

г) Дана функция $y = \frac{6 - x}{6 + x^2}$.

Эта функция также является дробно-рациональной. Ее область определения ограничена условием, что знаменатель не должен быть равен нулю.

Рассмотрим знаменатель: $6 + x^2$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, сумма $6 + x^2$ всегда будет больше или равна 6 ($6 + x^2 \ge 6$).

Знаменатель $6 + x^2$ никогда не обращается в ноль; он всегда положителен. Поэтому ограничений на значения $x$ нет.

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

2. Докажите, что функция $y = f(x)$ является чётной:

a) $f(x)=2x^4-1;$

б) $f(x)=\frac{1}{3+x^2}.$

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть для любого $x \in D(f)$ верно, что и $-x \in D(f)$) и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

а) $f(x) = 2x^4 - 1$

Область определения $D(f)$ данной функции — это множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, так как для любого действительного числа $x$ число $-x$ также является действительным.

Теперь проверим выполнение второго условия. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 2(-x)^4 - 1$

Поскольку показатель степени 4 — чётное число, то $(-x)^4 = x^4$. Следовательно:

$f(-x) = 2x^4 - 1$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Так как оба условия (симметричность области определения и равенство $f(-x) = f(x)$) выполняются, функция является чётной.

Ответ: Доказано.

б) $f(x) = \frac{1}{3 + x^2}$

Область определения $D(f)$ этой функции находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю: $3 + x^2 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3 + x^2 \ge 3$. Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль. Таким образом, область определения — множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Теперь проверим выполнение второго условия. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{1}{3 + (-x)^2}$

Так как $(-x)^2 = x^2$, получаем:

$f(-x) = \frac{1}{3 + x^2}$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Так как оба условия чётности выполняются, функция является чётной.

Ответ: Доказано.

13. Изобразите точками на координатной плоскости первые шесть членов последовательности ($a_n$) и укажите, вдоль какой линии расположены эти точки:

а) $a_n = \frac{4}{n}$;

Точки расположены .....................

б) $a_n = -0,5n^2 + 8.$

Точки расположены .....................

а) $a_n = \frac{4}{n}$

Для того чтобы изобразить первые шесть членов последовательности, необходимо вычислить значения $a_n$ для $n$ от 1 до 6. Каждый член последовательности $(a_n)$ соответствует точке на координатной плоскости с координатами $(n, a_n)$.

Вычислим значения членов последовательности и соответствующие им координаты точек:

• При $n=1$: $a_1 = \frac{4}{1} = 4$. Получаем точку с координатами $(1; 4)$.
• При $n=2$: $a_2 = \frac{4}{2} = 2$. Получаем точку с координатами $(2; 2)$.
• При $n=3$: $a_3 = \frac{4}{3} \approx 1,33$. Получаем точку с координатами $(3; \frac{4}{3})$.
• При $n=4$: $a_4 = \frac{4}{4} = 1$. Получаем точку с координатами $(4; 1)$.
• При $n=5$: $a_5 = \frac{4}{5} = 0,8$. Получаем точку с координатами $(5; 0,8)$.
• При $n=6$: $a_6 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0,67$. Получаем точку с координатами $(6; \frac{2}{3})$.

Заполним таблицу значениями $a_n$:

Отметив эти точки на координатной плоскости (график а), мы видим, что они лежат на кривой. Эта кривая является частью графика функции $y = \frac{4}{x}$, которая называется гиперболой.

Ответ: Точки расположены вдоль ветви гиперболы $y = \frac{4}{x}$.

б) $a_n = -0,5n^2 + 8$

Аналогично, вычислим первые шесть членов последовательности $a_n = -0,5n^2 + 8$ и определим координаты соответствующих точек $(n, a_n)$.

Вычислим значения членов последовательности и соответствующие им координаты точек:

• При $n=1$: $a_1 = -0,5 \cdot 1^2 + 8 = -0,5 + 8 = 7,5$. Получаем точку с координатами $(1; 7,5)$.
• При $n=2$: $a_2 = -0,5 \cdot 2^2 + 8 = -0,5 \cdot 4 + 8 = -2 + 8 = 6$. Получаем точку с координатами $(2; 6)$.
• При $n=3$: $a_3 = -0,5 \cdot 3^2 + 8 = -0,5 \cdot 9 + 8 = -4,5 + 8 = 3,5$. Получаем точку с координатами $(3; 3,5)$.
• При $n=4$: $a_4 = -0,5 \cdot 4^2 + 8 = -0,5 \cdot 16 + 8 = -8 + 8 = 0$. Получаем точку с координатами $(4; 0)$.
• При $n=5$: $a_5 = -0,5 \cdot 5^2 + 8 = -0,5 \cdot 25 + 8 = -12,5 + 8 = -4,5$. Получаем точку с координатами $(5; -4,5)$.
• При $n=6$: $a_6 = -0,5 \cdot 6^2 + 8 = -0,5 \cdot 36 + 8 = -18 + 8 = -10$. Получаем точку с координатами $(6; -10)$.

Заполним таблицу значениями $a_n$:

Отметив эти точки на координатной плоскости (график б), мы увидим, что они лежат на кривой. Эта кривая является частью графика функции $y = -0,5x^2 + 8$, которая называется параболой.

Ответ: Точки расположены вдоль параболы $y = -0,5x^2 + 8$.