Страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

11. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами A(0; 3), B(5; 0) и C(-5; 0).

....................

....................

....................

....................

....................

Чтобы задать треугольник системой неравенств, необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат его стороны, а затем определить, какую полуплоскость задает каждая из этих прямых. Треугольник является пересечением этих трех полуплоскостей. Вершины треугольника: A(0; 3), B(5; 0) и C(-5; 0).

1. Уравнение прямой AB
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(0; 3) и B(5; 0). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставляем координаты точек A и B:
$\frac{x - 0}{5 - 0} = \frac{y - 3}{0 - 3}$
$\frac{x}{5} = \frac{y - 3}{-3}$
Перемножим крест-накрест:
$-3x = 5(y - 3)$
$-3x = 5y - 15$
$3x + 5y = 15$
Или, выражая y: $5y = -3x + 15 \implies y = -\frac{3}{5}x + 3$.

2. Уравнение прямой AC
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(0; 3) и C(-5; 0).
Подставляем координаты точек A и C в ту же формулу:
$\frac{x - 0}{-5 - 0} = \frac{y - 3}{0 - 3}$
$\frac{x}{-5} = \frac{y - 3}{-3}$
Перемножим крест-накрест:
$-3x = -5(y - 3)$
$-3x = -5y + 15$
$3x - 5y = -15$, или $-3x + 5y = 15$.
Или, выражая y: $5y = 3x + 15 \implies y = \frac{3}{5}x + 3$.

3. Уравнение прямой BC
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(5; 0) и C(-5; 0).
Обе точки лежат на оси абсцисс (координата $y$ равна 0). Следовательно, уравнение этой прямой — $y = 0$.

4. Составление системы неравенств
Теперь определим знаки неравенств. Все точки треугольника лежат не выше прямых AB и AC и не ниже прямой BC. Чтобы это проверить, можно взять любую точку внутри треугольника, например (0; 1), и подставить ее координаты в полученные уравнения.

• Для прямой AB ($3x + 5y = 15$): подставляем (0; 1) $\implies 3(0) + 5(1) = 5$. Так как $5 \le 15$, то для всех точек треугольника будет выполняться неравенство $3x + 5y \le 15$.
• Для прямой AC ($-3x + 5y = 15$): подставляем (0; 1) $\implies -3(0) + 5(1) = 5$. Так как $5 \le 15$, то для всех точек треугольника будет выполняться неравенство $-3x + 5y \le 15$.
• Для прямой BC ($y = 0$): так как вершина A(0; 3) находится выше оси x, все точки треугольника (кроме лежащих на стороне BC) имеют положительную координату y. Следовательно, $y \ge 0$.

Поскольку сам треугольник включает свои стороны, неравенства будут нестрогими.

Объединив все три неравенства в систему, получим искомое описание треугольника.
Ответ: $\begin{cases} 3x + 5y \le 15 \\ -3x + 5y \le 15 \\ y \ge 0 \end{cases}$ или в эквивалентном виде: $\begin{cases} y \le -\frac{3}{5}x + 3 \\ y \le \frac{3}{5}x + 3 \\ y \ge 0 \end{cases}$

12. Задайте системой неравенств меньшую часть круга с центром в точке $C(-2; 1)$ и радиусом $4$, которую отсекает от него прямая, проходящая через точки $A(-4; 0)$ и $B(3; 4)$.

$$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 16$$ $$4x - 7y + 16 \leq 0$$

7. Последовательность $(b_n)$ задана формулой

Укажите номера отрицательных част...

Для того чтобы задать меньшую часть круга системой неравенств, необходимо составить два неравенства: одно для самого круга, а второе — для полуплоскости, отсекаемой прямой.

1. Составление неравенства для круга.

Общее неравенство, описывающее все точки внутри и на границе круга с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$, имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$.

По условию, центр круга находится в точке $C(-2; 1)$, а его радиус $R = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 \le 4^2$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 \le 16$

Это первое неравенство искомой системы.

2. Составление неравенства для прямой.

Сначала найдем уравнение прямой, которая проходит через точки $A(-4; 0)$ и $B(3; 4)$. Для этого воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A и B:

$\frac{x - (-4)}{3 - (-4)} = \frac{y - 0}{4 - 0}$

$\frac{x + 4}{7} = \frac{y}{4}$

Приведем уравнение к общему виду $ax + by + c = 0$:

$4(x + 4) = 7y$

$4x + 16 = 7y$

$4x - 7y + 16 = 0$

Эта прямая разделяет плоскость на две полуплоскости. Нам нужна та, что отсекает от круга меньшую часть. Меньшей частью является сегмент, который не содержит центр круга. Проверим, в какой из полуплоскостей находится центр круга $C(-2; 1)$, подставив его координаты в левую часть уравнения прямой:

$4(-2) - 7(1) + 16 = -8 - 7 + 16 = 1$

Результат $1 > 0$. Это означает, что центр круга лежит в полуплоскости, которая задается неравенством $4x - 7y + 16 > 0$. Соответственно, меньшая часть круга лежит в противоположной полуплоскости. Неравенство для этой полуплоскости, включая саму прямую, будет:

$4x - 7y + 16 \le 0$

3. Формирование системы неравенств.

Объединяя оба полученных неравенства, мы задаем область, которая одновременно является частью круга и находится в нужной полуплоскости. Таким образом, искомая система неравенств имеет вид:

$\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \le 16 \\ 4x - 7y + 16 \le 0 \end{cases}$

Ответ: $\begin{cases} (x + 2)^2 + (y - 1)^2 \le 16 \\ 4x - 7y + 16 \le 0 \end{cases}$