Номер 11, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами A(0; 3), B(5; 0) и C(-5; 0).

....................

....................

....................

....................

....................

Чтобы задать треугольник системой неравенств, необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат его стороны, а затем определить, какую полуплоскость задает каждая из этих прямых. Треугольник является пересечением этих трех полуплоскостей. Вершины треугольника: A(0; 3), B(5; 0) и C(-5; 0).

1. Уравнение прямой AB
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(0; 3) и B(5; 0). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставляем координаты точек A и B:
$\frac{x - 0}{5 - 0} = \frac{y - 3}{0 - 3}$
$\frac{x}{5} = \frac{y - 3}{-3}$
Перемножим крест-накрест:
$-3x = 5(y - 3)$
$-3x = 5y - 15$
$3x + 5y = 15$
Или, выражая y: $5y = -3x + 15 \implies y = -\frac{3}{5}x + 3$.

2. Уравнение прямой AC
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(0; 3) и C(-5; 0).
Подставляем координаты точек A и C в ту же формулу:
$\frac{x - 0}{-5 - 0} = \frac{y - 3}{0 - 3}$
$\frac{x}{-5} = \frac{y - 3}{-3}$
Перемножим крест-накрест:
$-3x = -5(y - 3)$
$-3x = -5y + 15$
$3x - 5y = -15$, или $-3x + 5y = 15$.
Или, выражая y: $5y = 3x + 15 \implies y = \frac{3}{5}x + 3$.

3. Уравнение прямой BC
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(5; 0) и C(-5; 0).
Обе точки лежат на оси абсцисс (координата $y$ равна 0). Следовательно, уравнение этой прямой — $y = 0$.

4. Составление системы неравенств
Теперь определим знаки неравенств. Все точки треугольника лежат не выше прямых AB и AC и не ниже прямой BC. Чтобы это проверить, можно взять любую точку внутри треугольника, например (0; 1), и подставить ее координаты в полученные уравнения.

• Для прямой AB ($3x + 5y = 15$): подставляем (0; 1) $\implies 3(0) + 5(1) = 5$. Так как $5 \le 15$, то для всех точек треугольника будет выполняться неравенство $3x + 5y \le 15$.
• Для прямой AC ($-3x + 5y = 15$): подставляем (0; 1) $\implies -3(0) + 5(1) = 5$. Так как $5 \le 15$, то для всех точек треугольника будет выполняться неравенство $-3x + 5y \le 15$.
• Для прямой BC ($y = 0$): так как вершина A(0; 3) находится выше оси x, все точки треугольника (кроме лежащих на стороне BC) имеют положительную координату y. Следовательно, $y \ge 0$.

Поскольку сам треугольник включает свои стороны, неравенства будут нестрогими.

Объединив все три неравенства в систему, получим искомое описание треугольника.
Ответ: $\begin{cases} 3x + 5y \le 15 \\ -3x + 5y \le 15 \\ y \ge 0 \end{cases}$ или в эквивалентном виде: $\begin{cases} y \le -\frac{3}{5}x + 3 \\ y \le \frac{3}{5}x + 3 \\ y \ge 0 \end{cases}$