Номер 10, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Укажите какую-либо пару значений $k$ и $b$, при которых система неравенств

$\begin{cases} y \ge 3x + 8, \\ y \le kx + b \end{cases}$

задаёт на координатной плоскости: а) угол; б) полосу.

Запишите получившиеся ситемы неравенств.

Ответ: а)

$\begin{cases} y \ge 3x + 8, \\ y \le \ldots x + \ldots \end{cases}$

б) $\begin{cases} y \ge 3x + 8, \\ y \le \ldots x + \ldots \end{cases}$

Исходная система неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 3x + 8 \\ y \le kx + b \end{cases} $$ Геометрически решение этой системы представляет собой пересечение двух полуплоскостей: области, расположенной не ниже прямой $y = 3x + 8$, и области, расположенной не выше прямой $y = kx + b$.

а) Чтобы система задавала на координатной плоскости угол, ее граничные прямые $y = 3x + 8$ и $y = kx + b$ должны пересекаться. Две прямые на плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты не равны. Угловой коэффициент первой прямой равен $3$. Угловой коэффициент второй прямой равен $k$. Таким образом, для получения угла необходимо выполнение условия $k \ne 3$. Параметр $b$ может принимать любое действительное значение.

В качестве примера выберем любую пару значений, удовлетворяющую условию $k \ne 3$. Пусть $k = 1$ и $b = 0$. При этих значениях система неравенств будет задавать угол, ограниченный пересекающимися прямыми $y = 3x + 8$ и $y = x$.

Ответ: например, $k = 1$, $b = 0$. Получившаяся система неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 3x + 8 \\ y \le x \end{cases} $$

б) Чтобы система задавала на координатной плоскости полосу, ее граничные прямые $y = 3x + 8$ и $y = kx + b$ должны быть параллельны, но не совпадать. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Следовательно, должно выполняться условие $k = 3$.

При $k = 3$ система принимает вид $3x + 8 \le y \le 3x + b$. Чтобы это двойное неравенство задавало полосу, а не пустое множество или прямую, необходимо, чтобы верхняя граница была строго выше нижней. То есть, для любого $x$ должно выполняться $3x + b > 3x + 8$. Это неравенство равносильно условию $b > 8$.

Выберем любое значение $b$, удовлетворяющее этому условию, например, $b = 10$. При $k=3$ и $b=10$ система задает полосу, заключенную между параллельными прямыми $y=3x+8$ и $y=3x+10$.

Ответ: например, $k = 3$, $b = 10$. Получившаяся система неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 3x + 8 \\ y \le 3x + 10 \end{cases} $$