Номер 6, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. На рисунке построена прямая $y=2$. Постройте ещё одну прямую $y=kx+b$ так, чтобы система неравенств $\begin{cases} y \le 2, \\ y \ge kx+b \end{cases}$ задавала на координатной плоскости: а) угол; б) полосу. Запишите полученную систему неравенств.

Ответ:

а) $\begin{cases} \dots, \\ \dots \end{cases}$;

б) $\begin{cases} \dots, \\ \dots \end{cases}$.

а) Чтобы система неравенств $\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge kx + b \end{cases}$ задавала на координатной плоскости угол, прямые $y=2$ и $y=kx+b$ должны пересекаться. Две прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты различны. Угловой коэффициент прямой $y=2$ равен $0$. Следовательно, для прямой $y=kx+b$ угловой коэффициент $k$ не должен быть равен нулю ($k \neq 0$).

Выберем для примера простую прямую, у которой $k \neq 0$. Например, пусть $k=1$ и $b=0$. Тогда уравнение второй прямой будет $y=x$. Эта прямая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, и точку $(1, 1)$. Построим её на соответствующем графике. Полученная система неравенств имеет вид:

$\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge x \end{cases}$

Решением этой системы является область, расположенная одновременно ниже (или на) прямой $y=2$ и выше (или на) прямой $y=x$. Эти две пересекающиеся прямые как раз и образуют на плоскости угол.

Ответ: $\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge x \end{cases}$

б) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости полосу, прямые $y=2$ и $y=kx+b$ должны быть параллельны и не совпадать. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y=2$ равен $0$. Следовательно, для прямой $y=kx+b$ угловой коэффициент $k$ также должен быть равен нулю ($k=0$).

При $k=0$ уравнение второй прямой принимает вид $y=b$. Система неравенств становится $\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge b \end{cases}$. Чтобы эта система задавала полосу, а не одну прямую или пустое множество, необходимо, чтобы $b < 2$.

Выберем для примера простое значение $b$, удовлетворяющее этому условию, например, $b=0$. Тогда уравнение второй прямой — $y=0$ (это ось абсцисс $Ox$). Построим её на соответствующем графике.

Полученная система неравенств имеет вид:

$\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases}$

Решением этой системы является область, расположенная между параллельными прямыми $y=2$ и $y=0$, включая сами прямые. Эта область представляет собой горизонтальную полосу.

Ответ: $\begin{cases} y \le 2 \\ y \ge 0 \end{cases}$