Номер 7, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Какую фигуру задаёт множество решений системы неравенств:

a) $\begin{cases} x - y + 4 \ge 0 \\ 2x + y \le 4 \\ y \ge 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ x^2 + y^2 \ge 4 \end{cases}$

Изобразите данную фигуру на рисунке и найдите её площадь.

a)

б)

Ответ: a)

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - y + 4 \ge 0, \\ 2x + y \le 4, \\ y \ge 0; \end{cases} $

Каждое неравенство в системе задает полуплоскость. Решением системы является пересечение этих полуплоскостей. Преобразуем неравенства, чтобы определить их границы:

1. $x - y + 4 \ge 0 \implies y \le x + 4$. Это полуплоскость, расположенная на и ниже прямой $y = x + 4$.
2. $2x + y \le 4 \implies y \le -2x + 4$. Это полуплоскость, расположенная на и ниже прямой $y = -2x + 4$.
3. $y \ge 0$. Это полуплоскость, расположенная на и выше оси абсцисс (оси Ox).

Фигура, задаваемая этой системой, является треугольником, ограниченным прямыми $y = x + 4$, $y = -2x + 4$ и $y = 0$.

Найдем координаты вершин этого треугольника, решив системы уравнений для точек пересечения этих прямых:

• Вершина A (пересечение $y=x+4$ и $y=0$):
  $0 = x + 4 \implies x = -4$. Точка A(-4, 0).
• Вершина B (пересечение $y=-2x+4$ и $y=0$):
  $0 = -2x + 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Точка B(2, 0).
• Вершина C (пересечение $y=x+4$ и $y=-2x+4$):
  $x + 4 = -2x + 4 \implies 3x = 0 \implies x = 0$.
  $y = 0 + 4 = 4$. Точка C(0, 4).

Заполним таблицу координатами некоторых вершин для построения:

Изображение фигуры на координатной плоскости:

Для нахождения площади треугольника ABC используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

Основание треугольника AB лежит на оси Ox, его длина $a = |2 - (-4)| = 6$.

Высота CH, опущенная из вершины C на основание AB, равна ординате точки C: $h = 4$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Ответ: Фигура является треугольником с вершинами в точках $(-4; 0)$, $(2; 0)$, $(0; 4)$. Его площадь равна 12.

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 16, \\ x^2 + y^2 \ge 4. \end{cases} $

1. Неравенство $x^2 + y^2 \le 16$ задает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

2. Неравенство $x^2 + y^2 \ge 4$ задает область вне круга с центром в (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$, включая его границу.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть все точки, которые находятся между двумя концентрическими окружностями или на них. Такая фигура называется кольцом (или аннулусом).

Заполним таблицу точками, лежащими на границах кольца:

Изображение фигуры на координатной плоскости:

Площадь кольца находится как разность площадей большого и малого кругов.

Площадь большого круга ($S_R$) с радиусом $R=4$: $S_R = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$.

Площадь малого круга ($S_r$) с радиусом $r=2$: $S_r = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Площадь кольца: $S = S_R - S_r = 16\pi - 4\pi = 12\pi$.

Ответ: Фигура является кольцом, ограниченным окружностями с центром в начале координат и радиусами 2 и 4. Его площадь равна $12\pi$.