Номер 9, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x^2 - 6x + y^2 - 4y \le 3, \\ (x - 3)^2 + y \le 4. \end{cases}$

...

...

...

...

x

y

Чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо проанализировать каждое неравенство, определить геометрическое место точек, которое оно задает, а затем найти пересечение этих множеств на координатной плоскости.

1. Анализ первого неравенства: $x^2 - 6x + y^2 - 4y \le 3$

Данное неравенство представляет собой круг. Для определения его центра и радиуса преобразуем неравенство, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

$ (x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) \le 3 $

Дополняем до полных квадратов:

$ (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 \le 3 $

$ (x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 \le 3 $

Переносим константы в правую часть:

$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 3 + 9 + 4 $

$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 16 $

Или в виде $ (x - a)^2 + (y - b)^2 \le R^2 $:

$ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 4^2 $

Это неравенство описывает все точки, находящиеся внутри и на границе окружности с центром в точке $C(3, 2)$ и радиусом $R = 4$.

2. Анализ второго неравенства: $(x-3)^2 + y \le 4$

Преобразуем данное неравенство, выразив переменную $y$:

$ y \le 4 - (x-3)^2 $

$ y \le -(x-3)^2 + 4 $

Это неравенство задает область, ограниченную сверху параболой. Уравнение $y = -(x-3)^2 + 4$ соответствует параболе, вершина которой находится в точке $V(3, 4)$, а ветви направлены вниз (коэффициент при $(x-3)^2$ отрицателен). Неравенство со знаком $\le$ означает, что решением является множество всех точек, расположенных на самой параболе и ниже нее.

3. Построение множества решений системы

Решением системы неравенств является пересечение (общая часть) областей, найденных для каждого неравенства. На координатной плоскости это будет область, точки которой удовлетворяют обоим условиям одновременно: они должны находиться внутри или на границе окружности и в то же время ниже или на границе параболы.

Искомое множество точек заштриховано на графике ниже. Оно ограничено сверху дугой параболы, а снизу — дугой окружности. Так как оба неравенства нестрогие ($\le$), границы области (сами дуги) включаются в решение.

Ответ:

Множество решений системы неравенств — это заштрихованная на рисунке фигура, ограниченная сверху дугой параболы $y = -(x-3)^2 + 4$, а снизу — дугой окружности $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 16$.