Номер 4, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

a) $\begin{cases} 3y - x - 3 \ge 0 \\ 2x - y - 2 \ge 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y \ge -1 \\ y \le 2 - x \end{cases}$

a)

б)

a)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3y - x - 3 \ge 0 \\ 2x - y - 2 \ge 0 \end{cases} $$ Для того чтобы изобразить множество решений, построим граничные прямые для каждого неравенства и определим нужные полуплоскости.

1. Первое неравенство: $3y - x - 3 \ge 0$. Выразим $y$ через $x$:
$3y \ge x + 3$
$y \ge \frac{1}{3}x + 1$
Решением является полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{3}x + 1$, включая саму прямую. Построим эту прямую по двум точкам.

2. Второе неравенство: $2x - y - 2 \ge 0$. Выразим $y$ через $x$:
$2x - 2 \ge y$
$y \le 2x - 2$
Решением является полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 2x - 2$, включая саму прямую. Построим эту прямую по двум точкам.

3. Множество решений системы — это пересечение двух указанных полуплоскостей. Найдём точку пересечения прямых, решив систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x + 1 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$ $\frac{1}{3}x + 1 = 2x - 2 \implies 3 = \frac{5}{3}x \implies x = \frac{9}{5} = 1.8$.
$y = 2(1.8) - 2 = 3.6 - 2 = 1.6$.
Точка пересечения: $(1.8, 1.6)$.

Изобразим прямые на координатной плоскости и заштрихуем область, которая удовлетворяет обоим неравенствам ($y \ge \frac{1}{3}x + 1$ и $y \le 2x - 2$).

Ответ: Решением системы является заштрихованная на графике область — угол с вершиной в точке $(1.8, 1.6)$, ограниченный лучами прямых $y = \frac{1}{3}x + 1$ и $y = 2x - 2$.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + y \ge -1 \\ y \le 2 - x \end{cases} $$ Аналогично предыдущему пункту, построим граничные прямые.

1. Первое неравенство: $x + y \ge -1$. Выразим $y$ через $x$:
$y \ge -x - 1$
Решением является полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -x - 1$, включая саму прямую. Построим эту прямую по двум точкам.

2. Второе неравенство: $y \le 2 - x$. Можно переписать как $y \le -x + 2$.
Решением является полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x + 2$, включая саму прямую. Построим эту прямую по двум точкам.

3. Угловые коэффициенты обеих прямых ($y = -x - 1$ и $y = -x + 2$) равны -1. Это означает, что прямые параллельны.

Множество решений системы — это область, которая находится одновременно выше прямой $y = -x - 1$ и ниже прямой $y = -x + 2$. Изобразим это на графике.

Ответ: Решением системы является заштрихованная на графике область — полоса, заключенная между параллельными прямыми $y = -x - 1$ и $y = -x + 2$, включая сами прямые.