Номер 14, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

a) $y \le |x+3|$;

б) $y > |2x-1|$;

в) $y < |4-x|$;

г) $y \ge |4-2x|$.

а) $y \le |x+3|$

1. Построение граничной линии. Сначала построим график функции $y = |x+3|$. Это график модуля, который имеет V-образную форму ("галочку").

2. Нахождение вершины. Вершина графика находится в точке, где выражение под знаком модуля равно нулю: $x+3 = 0$, то есть $x = -3$. Координаты вершины: $(-3, | -3+3 |) = (-3, 0)$.

3. Таблица значений. Найдем несколько точек для построения графика, выбрав значения $x$ вокруг вершины:

4. Выбор типа линии и области штриховки. Неравенство $y \le |x+3|$ является нестрогим (содержит знак "равно"), поэтому граница $y = |x+3|$ рисуется сплошной линией. Знак "$\le$" означает, что мы должны заштриховать область ниже графика. Для проверки возьмем точку $(0,0)$. Подставим ее в неравенство: $0 \le |0+3|$, что дает $0 \le 3$. Это верное утверждение, значит, область, содержащая точку $(0,0)$, является решением.

Ответ: Множество решений — это часть координатной плоскости, ограниченная сверху графиком функции $y = |x+3|$ (включая сам график). График представляет собой V-образную линию с вершиной в точке $(-3, 0)$, ветви которой направлены вверх. Заштрихована область под этой линией.

б) $y > |2x - 1|$

1. Построение граничной линии. Строим график функции $y = |2x-1|$.

2. Нахождение вершины. Вершина находится в точке, где $2x-1=0$, то есть $x = 0.5$. Координаты вершины: $(0.5, |2(0.5)-1|) = (0.5, 0)$.

3. Таблица значений.

4. Выбор типа линии и области штриховки. Неравенство $y > |2x-1|$ строгое, поэтому граница $y = |2x-1|$ рисуется пунктирной линией. Знак "$>$" означает, что нужно заштриховать область выше графика. Проверим с помощью точки $(0,2)$: $2 > |2(0)-1|$, что дает $2 > 1$. Это верно, значит, штрихуем область "внутри" V-образной кривой, то есть выше неё.

Ответ: Множество решений — это часть координатной плоскости, расположенная строго выше графика функции $y = |2x-1|$ (не включая сам график). График представляет собой V-образную пунктирную линию с вершиной в точке $(0.5, 0)$, ветви которой направлены вверх. Заштрихована область над этой линией.

в) $y < |4 - x|$

1. Построение граничной линии. Строим график функции $y = |4-x|$. Заметим, что $|4-x| = |x-4|$.

2. Нахождение вершины. Вершина находится в точке, где $4-x=0$, то есть $x = 4$. Координаты вершины: $(4, |4-4|) = (4, 0)$.

3. Таблица значений.

4. Выбор типа линии и области штриховки. Неравенство $y < |4-x|$ строгое, поэтому граница $y = |4-x|$ рисуется пунктирной линией. Знак "<" означает, что нужно заштриховать область ниже графика. Проверим с помощью точки $(0,0)$: $0 < |4-0|$, что дает $0 < 4$. Это верно, значит, штрихуем область, содержащую начало координат, то есть ниже V-образной кривой.

Ответ: Множество решений — это часть координатной плоскости, расположенная строго ниже графика функции $y = |4-x|$ (не включая сам график). График представляет собой V-образную пунктирную линию с вершиной в точке $(4, 0)$, ветви которой направлены вверх. Заштрихована область под этой линией.

г) $y \ge |4 - 2x|$

1. Построение граничной линии. Строим график функции $y = |4-2x|$. Заметим, что $|4-2x| = |2(2-x)| = 2|x-2|$.

2. Нахождение вершины. Вершина находится в точке, где $4-2x=0$, то есть $x = 2$. Координаты вершины: $(2, |4-2(2)|) = (2, 0)$.

3. Таблица значений.

4. Выбор типа линии и области штриховки. Неравенство $y \ge |4-2x|$ нестрогое, поэтому граница $y = |4-2x|$ рисуется сплошной линией. Знак "$\ge$" означает, что нужно заштриховать область выше графика. Для проверки возьмем точку $(2,2)$: $2 \ge |4-2(2)|$, что дает $2 \ge 0$. Это верно, значит, штрихуем область "внутри" V-образной кривой, то есть выше неё.

Ответ: Множество решений — это часть координатной плоскости, ограниченная снизу графиком функции $y = |4-2x|$ (включая сам график). График представляет собой V-образную линию с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх. Заштрихована область над этой линией.