Номер 9, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Какое множество точек задаётся на координатной плоскости неравенством:

a) $x^2 + y^2 - 6x + 8y \le 0$;

б) $x^2 + 10x + y^2 - 2y > 10?

Ответ:

a) б)

а)

Чтобы определить множество точек, задаваемое неравенством $x^2 + y^2 - 6x + 8y \le 0$, необходимо привести его к каноническому виду неравенства, описывающего круг. Для этого используется метод выделения полного квадрата.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:
$(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) \le 0$

Теперь выделим полный квадрат для каждой из групп. Для этого добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при переменной в первой степени.
Для слагаемых с $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 = (x - 3)^2 - 9$.
Для слагаемых с $y$: $y^2 + 8y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 - 4^2 = (y + 4)^2 - 16$.

Подставим эти выражения обратно в неравенство:
$((x - 3)^2 - 9) + ((y + 4)^2 - 16) \le 0$

Перенесем свободные члены в правую часть:
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 \le 9 + 16$
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 \le 25$
$(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 \le 5^2$

Полученное неравенство описывает все точки, расстояние от которых до точки $C(3, -4)$ не превышает 5. Это множество является кругом, включая его границу (окружность), с центром в точке $(3, -4)$ и радиусом $r=5$.

Ответ: множество точек, представляющее собой круг с центром в точке $(3, -4)$ и радиусом 5, включая его границу.

б)

Рассмотрим неравенство $x^2 + 10x + y^2 - 2y > 10$. Поступим аналогично, выделив полные квадраты для $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + 10x) + (y^2 - 2y) > 10$

Чтобы выделить полные квадраты, добавим к обеим частям неравенства нужные константы.
Для $x$: $x^2 + 10x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5$. Нужно добавить $5^2 = 25$.
Для $y$: $y^2 - 2y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Нужно добавить $1^2 = 1$.

Добавим 25 и 1 к обеим частям неравенства:
$(x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 2y + 1) > 10 + 25 + 1$

Теперь свернем левую часть в полные квадраты:
$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 > 36$
$(x - (-5))^2 + (y - 1)^2 > 6^2$

Это неравенство описывает все точки на координатной плоскости, расстояние от которых до точки $C(-5, 1)$ строго больше 6. Это множество представляет собой внешнюю часть круга с центром в точке $(-5, 1)$ и радиусом $r=6$. Поскольку неравенство строгое ($>$), граница (сама окружность) в это множество не включается.

Ответ: множество точек, представляющее собой внешнюю часть круга с центром в точке $(-5, 1)$ и радиусом 6 (граница не включена).