Номер 8, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

a) $y \geq x^2 - 3$;

б) $x^2 + y^2 < 16$.

x y

а) $y \ge x^2 - 3$

Чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, сначала рассмотрим граничное уравнение $y = x^2 - 3$. Это уравнение задает параболу.

1. Построение графика функции $y = x^2 - 3$.
Это стандартная парабола $y = x^2$, ветви которой направлены вверх, а вершина смещена на 3 единицы вниз по оси OY. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.
Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих параболе, заполнив таблицу:

2. Определение типа линии.
Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на самой параболе являются частью решения. Поэтому параболу следует рисовать сплошной линией.

3. Определение области штриховки.
Неравенство $y \ge x^2 - 3$ означает, что для каждого значения $x$ нас интересуют точки, у которых координата $y$ больше или равна значению $x^2 - 3$. Это все точки, лежащие выше параболы и на самой параболе. Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на параболе, например, начало координат $(0, 0)$.
Подставим ее координаты в неравенство: $0 \ge 0^2 - 3$, что упрощается до $0 \ge -3$. Это верное неравенство. Следовательно, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением.

Ответ: Множество точек — это область, расположенная внутри (выше) параболы $y = x^2 - 3$, включая саму параболу, которая изображается сплошной линией.

б) $x^2 + y^2 < 16$

Чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, рассмотрим граничное уравнение $x^2 + y^2 = 16$.

1. Построение границы $x^2 + y^2 = 16$.
Это стандартное уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r$.
В данном случае $r^2 = 16$, следовательно, радиус $r = \sqrt{16} = 4$.
Итак, границей является окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 4.

2. Определение типа линии.
Так как неравенство строгое (<), точки на самой окружности не являются частью решения. Поэтому окружность следует рисовать пунктирной (штриховой) линией.

3. Определение области штриховки.
Неравенство $x^2 + y^2 < 16$ означает, что нас интересуют точки, квадрат расстояния от которых до начала координат меньше 16. Это все точки, лежащие внутри окружности. Для проверки можно взять контрольную точку, например, начало координат $(0, 0)$.
Подставим ее координаты в неравенство: $0^2 + 0^2 < 16$, что упрощается до $0 < 16$. Это верное неравенство. Следовательно, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением.

Ответ: Множество точек — это внутренняя область окружности с центром в начале координат и радиусом 4. Сама окружность изображается пунктирной линией, так как не входит в решение.