Номер 6, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

a) $2x - y + 4 > 0;$

б) $x + 2y \geq 2.$

Для того чтобы изобразить на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством, необходимо выполнить следующие шаги.
1. Преобразуем неравенство, выразив переменную $y$ через $x$:

$2x - y + 4 > 0$

$-y > -2x - 4$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства меняется на противоположный:

$y < 2x + 4$

2. Построим граничную прямую, которая соответствует уравнению $y = 2x + 4$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты и занесем в таблицу.

Пусть $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.

Пусть $x = -2$, тогда $y = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

3. Нанесем точки $(-2, 0)$ и $(0, 4)$ на координатную плоскость. Так как исходное неравенство строгое ($>$), то точки на самой прямой $y = 2x + 4$ не являются решением. Поэтому прямую изображаем пунктирной линией.

4. Определим, какая из двух полуплоскостей, на которые прямая делит координатную плоскость, является решением. Для этого возьмем любую контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего взять начало координат — точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$2(0) - 0 + 4 > 0$

$4 > 0$

Получилось верное числовое неравенство. Это означает, что полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, является искомым множеством точек. Заштриховываем эту область.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y=2x+4$.

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом.
1. Выразим $y$ через $x$:

$x + 2y \ge 2$

$2y \ge -x + 2$

$y \ge -\frac{1}{2}x + 1$

2. Построим граничную прямую $y = -\frac{1}{2}x + 1$. Найдем две точки, принадлежащие этой прямой.

Пусть $x = 0$, тогда $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

Пусть $x = 2$, тогда $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(2, 0)$.

3. Нанесем точки $(0, 1)$ и $(2, 0)$ на координатную плоскость. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на прямой $y = -\frac{1}{2}x + 1$ являются решением, поэтому прямую изображаем сплошной линией.

4. Определим нужную полуплоскость с помощью контрольной точки $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0 + 2(0) \ge 2$

$0 \ge 2$

Получилось неверное числовое неравенство. Следовательно, полуплоскость, в которой лежит начало координат, не является решением. Заштриховываем противоположную полуплоскость — ту, что лежит выше прямой.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутая полуплоскость, расположенная на прямой $y = -\frac{1}{2}x + 1$ и выше нее.