Номер 13, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. К сахарному сиропу, содержащему 250 г сахара, добавили 100 г воды. После этого концентрация сиропа уменьшилась на 12,5 %. Сколько воды содержал сироп первоначально и какова была его концентрация?

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Пусть сироп содержал первоначально $x$ г воды, а его концентрация, равная .........., составляла $y$ %, т. е. $\frac{y}{100}$.

Следовательно, .......... (1)

После добавления 100 г воды концентрация сиропа стала равной ............, что на 12,5 % меньше первоначальной концентрации. Отсюда .......... (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему:

Решение. Пусть сироп содержал первоначально $x$ г воды, а его концентрация, равная отношению массы сахара к общей массе сиропа, составляла $y$ %, т. е. $\frac{y}{100}$.

Первоначальная масса сиропа равна $250+x$ г. Концентрация (массовая доля сахара) выражается формулой: $$ \frac{\text{масса сахара}}{\text{масса сиропа}} = \frac{250}{250+x} $$

Следовательно, получаем первое уравнение: $$ \frac{y}{100} = \frac{250}{250+x} \quad (1) $$

После добавления 100 г воды, масса воды в сиропе стала $x+100$ г, а общая масса сиропа стала $250 + (x+100) = 350+x$ г. Новая концентрация сиропа стала равной $\frac{250}{350+x}$. По условию, она на 12,5 % меньше первоначальной, то есть равна $(y - 12.5)$ %. Отсюда получаем второе уравнение: $$ \frac{y - 12.5}{100} = \frac{250}{350+x} \quad (2) $$

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим ее: $$ \begin{cases} \frac{y}{100} = \frac{250}{250+x} \\ \frac{y - 12.5}{100} = \frac{250}{350+x} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $$ y = \frac{25000}{250+x} $$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение: $$ \frac{\frac{25000}{250+x} - 12.5}{100} = \frac{250}{350+x} $$

Умножим обе части уравнения на 100 и приведем левую часть к общему знаменателю: $$ \frac{25000 - 12.5(250+x)}{250+x} = \frac{25000}{350+x} $$ $$ \frac{25000 - 3125 - 12.5x}{250+x} = \frac{25000}{350+x} $$ $$ \frac{21875 - 12.5x}{250+x} = \frac{25000}{350+x} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $$ (21875 - 12.5x)(350+x) = 25000(250+x) $$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 12.5: $$ (1750 - x)(350+x) = 2000(250+x) $$

Раскроем скобки: $$ 1750 \cdot 350 + 1750x - 350x - x^2 = 2000 \cdot 250 + 2000x $$ $$ 612500 + 1400x - x^2 = 500000 + 2000x $$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $$ x^2 + 2000x - 1400x + 500000 - 612500 = 0 $$ $$ x^2 + 600x - 112500 = 0 $$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = 600^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-112500) = 360000 + 450000 = 810000 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{810000} = 900 $$ $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-600 + 900}{2} = \frac{300}{2} = 150 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-600 - 900}{2} = \frac{-1500}{2} = -750 $$

Так как масса воды ($x$) не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $x = 150$. Таким образом, первоначально сироп содержал 150 г воды.

Теперь найдем первоначальную концентрацию $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение: $$ y = \frac{25000}{250+x} = \frac{25000}{250+150} = \frac{25000}{400} = \frac{250}{4} = 62.5 $$

Ответ: первоначально сироп содержал 150 г воды, а его концентрация была 62.5 %.