Номер 10, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Произведение двух целых чисел равно -26. Если одно из этих чисел увеличить на 4, а другое уменьшить на 7, их произведение станет равно 12. Найдите эти числа.

Решение.

Пусть искомые целые числа — это $x$ и $y$.

Согласно первому условию задачи, произведение этих чисел равно $-26$. Запишем это в виде уравнения:
$x \cdot y = -26$

Согласно второму условию, если одно из чисел увеличить на 4, а другое уменьшить на 7, то их новое произведение станет равно 12. Составим второе уравнение. Пусть мы увеличиваем $x$ на 4 и уменьшаем $y$ на 7:
$(x + 4)(y - 7) = 12$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x \cdot y = -26 \\ (x + 4)(y - 7) = 12 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$, так как произведение не равно нулю):
$y = -\frac{26}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(x + 4)\left(-\frac{26}{x} - 7\right) = 12$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \left(-\frac{26}{x}\right) + x \cdot (-7) + 4 \cdot \left(-\frac{26}{x}\right) + 4 \cdot (-7) = 12$

$-26 - 7x - \frac{104}{x} - 28 = 12$

Сгруппируем и упростим члены уравнения:

$-7x - \frac{104}{x} - 54 = 12$

$-7x - \frac{104}{x} - 66 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на $x$:

$-7x^2 - 104 - 66x = 0$

Умножим уравнение на $-1$ и запишем его в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x^2 + 66x + 104 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 66^2 - 4 \cdot 7 \cdot 104 = 4356 - 2912 = 1444$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38$

$x_{1} = \frac{-66 + 38}{2 \cdot 7} = \frac{-28}{14} = -2$

$x_{2} = \frac{-66 - 38}{2 \cdot 7} = \frac{-104}{14} = -\frac{52}{7}$

В условии задачи сказано, что искомые числа — целые. Поэтому корень $x_2 = -\frac{52}{7}$ нам не подходит.

Следовательно, одно из чисел равно $x = -2$.

Найдем второе число $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = -\frac{26}{x}$:

$y = -\frac{26}{-2} = 13$

Итак, мы нашли пару чисел: $-2$ и $13$.

Выполним проверку.
1. Произведение чисел: $-2 \cdot 13 = -26$. (Верно)
2. Увеличим одно число ($ -2 $) на 4, а другое ($13$) уменьшим на 7: $(-2 + 4) \cdot (13 - 7) = 2 \cdot 6 = 12$. (Верно)
Все условия задачи выполнены.

Ответ: $-2$ и $13$.