Номер 11, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Периметр прямоугольника равен 68 см, а его диагональ равна 26 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого этому прямоугольнику.

Решение. ...................

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Согласно условию, периметр равен 68 см, поэтому мы можем составить первое уравнение:
$2(a+b) = 68$
$a+b = \frac{68}{2}$
$a+b = 34$

Диагональ прямоугольника, его длина и ширина образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон: $d^2 = a^2 + b^2$. По условию, диагональ $d$ равна 26 см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 26^2$
$a^2 + b^2 = 676$

Теперь у нас есть система уравнений:
$a+b=34$
$a^2+b^2=676$

Для нахождения площади прямоугольника $S_{пр} = a \cdot b$ нам не обязательно находить сами стороны $a$ и $b$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Возведем в квадрат первое уравнение системы:
$(a+b)^2 = 34^2$
$a^2 + 2ab + b^2 = 1156$

Теперь подставим в это выражение известное значение $a^2 + b^2$ из второго уравнения системы:
$676 + 2ab = 1156$
$2ab = 1156 - 676$
$2ab = 480$
$ab = \frac{480}{2}$
$ab = 240$

Таким образом, площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна 240 см$^2$.

По условию задачи, нужно найти сторону квадрата, равновеликого этому прямоугольнику. "Равновеликий" означает имеющий ту же площадь. Пусть сторона квадрата равна $c$. Тогда площадь квадрата $S_{кв} = c^2$.
$S_{кв} = S_{пр}$
$c^2 = 240$

Чтобы найти сторону квадрата, извлечем квадратный корень из площади:
$c = \sqrt{240}$
Для упрощения корня разложим 240 на множители: $240 = 16 \cdot 15$.
$c = \sqrt{16 \cdot 15} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{15} = 4\sqrt{15}$

Ответ: $4\sqrt{15}$ см.