Номер 8, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр и на 16 больше их произведения.

Решение.

Решение.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — любым целым числом от 0 до 9.

Сумма цифр этого числа равна $a + b$, а их произведение — $a \cdot b$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Число в 4 раза больше суммы его цифр: $10a + b = 4(a + b)$.

2. Число на 16 больше произведения его цифр: $10a + b = ab + 16$.

Система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} 10a + b = 4(a + b) \\ 10a + b = ab + 16 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую:

$10a + b = 4a + 4b$

$10a - 4a = 4b - b$

$6a = 3b$

Разделив обе части на 3, получаем:

$b = 2a$

Теперь подставим выражение $b = 2a$ во второе уравнение системы:

$10a + (2a) = a(2a) + 16$

$12a = 2a^2 + 16$

Приведем это уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$2a^2 - 12a + 16 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$a^2 - 6a + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, найдя два числа, которые в произведении дают 8, а в сумме — 6. Это числа 2 и 4.

$(a - 2)(a - 4) = 0$

Отсюда следуют два возможных значения для $a$:

$a_1 = 2$

$a_2 = 4$

Оба значения являются допустимыми, так как $a$ — это цифра десятков.

Теперь найдем соответствующие значения для $b$ для каждого случая, используя соотношение $b = 2a$:

1. Если $a = 2$, то $b = 2 \cdot 2 = 4$. Получаем число 24.

2. Если $a = 4$, то $b = 2 \cdot 4 = 8$. Получаем число 48.

Выполним проверку для обоих найденных чисел.

Для числа 24:

• Сумма цифр: $2 + 4 = 6$. Проверяем первое условие: $4 \cdot 6 = 24$. Верно.
• Произведение цифр: $2 \cdot 4 = 8$. Проверяем второе условие: $8 + 16 = 24$. Верно.

Для числа 48:

• Сумма цифр: $4 + 8 = 12$. Проверяем первое условие: $4 \cdot 12 = 48$. Верно.
• Произведение цифр: $4 \cdot 8 = 32$. Проверяем второе условие: $32 + 16 = 48$. Верно.

Оба числа, 24 и 48, полностью удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 24, 48.