Номер 1, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Сумма двух чисел равна 15, а их удвоенное произведение равно 108. Найдите эти числа. Закончите решение задачи.

Решение.

Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их сумма равна $x+y$, что по условию равно 15. Следовательно, $x+y = 15$ (1)

Удвоенное произведение этих чисел равно $2xy$, что по условию задачи равно 108. Следовательно, $2xy = 108$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x+y=15 \\ 2xy=108 \end{cases} $

Ответ:

Пусть первое число равно $x$, а второе — $y$. Тогда их сумма равна $x + y$, что по условию равно 15. Следовательно,

$x + y = 15$ (1)

Удвоенное произведение этих чисел равно $2xy$, что по условию задачи равно 108. Следовательно,

$2xy = 108$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x + y = 15, \\ 2xy = 108. \end{cases} $

Из первого уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 15 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x(15 - x) = 108$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$x(15 - x) = 54$

Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$15x - x^2 = 54$

$-x^2 + 15x - 54 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$x^2 - 15x + 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней уравнения равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 15, а их произведение равно свободному члену, то есть 54.

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 9$, так как $6 + 9 = 15$ и $6 \cdot 9 = 54$.

Теперь найдём соответствующие значения для $y$:

1. Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 15 - 6 = 9$.

2. Если $x_2 = 9$, то $y_2 = 15 - 9 = 6$.

В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару чисел.

Ответ: 6 и 9.