Номер 5, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Дана система уравнений $ \begin{cases} kx - 2y = 10, \\ 3x - 4y = 5. \end{cases} $

Подберите такое число k, чтобы система имела единственное решение.

Ответ: $k = $

Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя переменными имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при переменных $x$ и $y$ не были пропорциональны.

Рассмотрим общую систему: $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ Условие единственности решения для такой системы записывается в виде неравенства: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, имеют разные угловые коэффициенты и, следовательно, пересекаются в одной точке.

Применим это правило к данной системе уравнений: $ \begin{cases} kx - 2y = 10 \\ 3x - 4y = 5 \end{cases} $ В этой системе коэффициенты равны: $a_1 = k$, $b_1 = -2$, $a_2 = 3$ и $b_2 = -4$.

Подставим эти значения в условие единственности решения: $ \frac{k}{3} \neq \frac{-2}{-4} $

Упростим дробь в правой части неравенства: $ \frac{-2}{-4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Теперь неравенство выглядит так: $ \frac{k}{3} \neq \frac{1}{2} $

Чтобы найти $k$, умножим обе части неравенства на 3: $ k \neq 3 \cdot \frac{1}{2} $ $ k \neq \frac{3}{2} $ $ k \neq 1.5 $

Таким образом, система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $k = 1.5$. Если $k = 1.5$, то прямые будут параллельны, и система не будет иметь решений, так как отношение свободных членов ($\frac{10}{5} = 2$) не будет равно отношению коэффициентов при переменных ($\frac{1.5}{3} = \frac{1}{2}$).

Ответ: $k \neq 1.5$