Номер 16, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + 2x + y^2 = 14 - 2y, \\ x^2 - 4y = 21 - y^2. \end{cases}$

Предисловие

Глава I. Числа и ...

1. Действия над действительными числами

2. Сравнение действительных чисел

3. Погрешность и точность измерений

в окружающем мире

Глава II. Функции и их свойства

7. Свойства функций

Ответ:

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить на координатной плоскости графики, соответствующие каждому уравнению системы. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + 2x + y^2 = 14 - 2y$. Преобразуем его, чтобы определить вид графика. Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть:

$x^2 + 2x + y^2 + 2y = 14$

Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Для этого добавим к обеим частям уравнения необходимые константы:

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 14 + 1 + 1$

$(x+1)^2 + (y+1)^2 = 16$

Это уравнение окружности с центром в точке $C_1(-1, -1)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{16} = 4$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $x^2 - 4y = 21 - y^2$. Также преобразуем его:

$x^2 + y^2 - 4y = 21$

Выделим полный квадрат для переменной $y$:

$x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 21 + 4$

$x^2 + (y-2)^2 = 25$

Это уравнение окружности с центром в точке $C_2(0, 2)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{25} = 5$.

Теперь построим обе окружности на координатной плоскости. Первая окружность имеет центр в $(-1, -1)$ и радиус 4. Вторая окружность имеет центр в $(0, 2)$ и радиус 5. Нанеся графики на координатную сетку, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Эти точки и являются решением системы уравнений.

Так как точки пересечения не имеют целочисленных координат, их значения можно определить с графика лишь приблизительно. Точка $A$ находится в четвертой координатной четверти, а точка $B$ — во второй. Считывая их координаты с графика, получаем:

Точка $A$ имеет приблизительные координаты $(2.8, -2.1)$.

Точка $B$ имеет приблизительные координаты $(-4.8, 0.4)$.

Ответ: $(2.8, -2.1)$, $(-4.8, 0.4)$.