Номер 14, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Докажите с помощью графиков, что система уравнений $ \begin{cases} y = x^2 + 1, \\ x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 \end{cases} $ не имеет решений.

Решение.

x

y

Для того чтобы доказать, что система уравнений не имеет решений, нужно построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решениями системы являются точки пересечения этих графиков. Если графики не пересекаются, то система не имеет решений.

Построение графика функции $y = x^2 + 1$

Графиком данного уравнения является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке с координатами $(0, 1)$. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику. Заполним таблицу значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Построение графика уравнения $x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$

Чтобы определить вид графика, необходимо преобразовать данное уравнение. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата для переменной $x$:

$(x^2 - 6x) + y^2 + 5 = 0$

Для выражения в скобках добавим и вычтем $3^2=9$, чтобы получить полный квадрат разности:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 9 + y^2 + 5 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 = 4$

Полученное уравнение — это каноническое уравнение окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. В нашем случае центр окружности находится в точке $(a, b) = (3, 0)$, а ее радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

Построим эту окружность на той же координатной плоскости.

Анализ взаимного расположения графиков и вывод

Нанесем оба графика на одну координатную плоскость. Мы имеем параболу с вершиной в $(0, 1)$ и ветвями вверх, и окружность с центром в $(3, 0)$ и радиусом 2.

Проанализируем их взаимное расположение. Окружность занимает на оси абсцисс интервал от $x = 3 - 2 = 1$ до $x = 3 + 2 = 5$. Найдем значение функции параболы на границах этого интервала: при $x=1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ принадлежит параболе. В то же время, самая высокая точка окружности имеет координаты $(3, 2)$. Это означает, что парабола "входит" в область над окружностью на той же высоте, что и самая высокая точка окружности, но при другом значении $x$. Поскольку при $x > 0$ парабола является возрастающей функцией, все ее точки для $x > 1$ будут находиться выше $y=2$. Таким образом, парабола и окружность не имеют общих точек.

Из графического представления видно, что парабола полностью расположена вне окружности и выше нее. Графики не пересекаются и не касаются друг друга.

Ответ: Поскольку графики уравнений системы, парабола $y = x^2 + 1$ и окружность $(x - 3)^2 + y^2 = 4$, не имеют точек пересечения, данная система уравнений не имеет действительных решений, что и требовалось доказать.