Номер 8, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Равносильны ли системы уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ 2x - y = 5 \end{cases}$ и $\begin{cases} y^2 - 2x^2 = 7, \\ y + 4x = 1 \end{cases}$?

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные системы, найдем решения для каждой из них и сравним полученные множества решений.

Решение первой системы:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 2x - 5$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + (2x - 5)^2 = 10$

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 10$

$5x^2 - 20x + 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить его:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда легко найти корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня x, используя выражение $y = 2x - 5$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 2(1) - 5 = 2 - 5 = -3$.

При $x_2 = 3$: $y_2 = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, первая система имеет два решения: $(1, -3)$ и $(3, 1)$.

Решение второй системы:

$ \begin{cases} y^2 - 2x^2 = 7 \\ y + 4x = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 1 - 4x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(1 - 4x)^2 - 2x^2 = 7$

$1 - 8x + 16x^2 - 2x^2 = 7$

$14x^2 - 8x + 1 - 7 = 0$

$14x^2 - 8x - 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$7x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100$

Найдем корни уравнения для x:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{4 \pm 10}{14}$

$x_1 = \frac{4 + 10}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{4 - 10}{14} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя выражение $y = 1 - 4x$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = 1 - 4(1) = 1 - 4 = -3$.

При $x_2 = -\frac{3}{7}$: $y_2 = 1 - 4(-\frac{3}{7}) = 1 + \frac{12}{7} = \frac{7}{7} + \frac{12}{7} = \frac{19}{7}$.

Таким образом, вторая система имеет два решения: $(1, -3)$ и $(-\frac{3}{7}, \frac{19}{7})$.

Сравнение решений и вывод:

Множество решений первой системы: $\{(1, -3), (3, 1)\}$.

Множество решений второй системы: $\{(1, -3), (-\frac{3}{7}, \frac{19}{7})\}$.

Поскольку множества решений двух систем не совпадают (они имеют лишь одно общее решение $(1, -3)$, а вторые решения различны), системы не являются равносильными.

Ответ: нет, системы уравнений не являются равносильными.