Номер 2, страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Решите систему уравнений способом подстановки:

а) $\begin{cases} x - y = 2, \\ y^2 - x = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x - 2, \\ (x - 3)^2 + y^2 = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = -5, \\ xy - y^2 = 2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2, \\ y^2 - x = 4 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим переменную $x$: $$ x = y + 2 $$ Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы: $$ y^2 - (y + 2) = 4 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$: $$ y^2 - y - 2 = 4 $$ $$ y^2 - y - 6 = 0 $$ Решим это уравнение. Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 $$ Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = y + 2$: Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 + 2 = 5$. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 2 = 0$. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5; 3)$, $(0; -2)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x - 2, \\ (x - 3)^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$ В первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$ (x - 3)^2 + (x - 2)^2 = 5 $$ Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) = 5 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2x^2 - 10x + 13 = 5 $$ Перенесем 5 в левую часть: $$ 2x^2 - 10x + 8 = 0 $$ Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = x - 2$: Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 - 2 = -1$. Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 4 - 2 = 2$. Система имеет два решения.

Ответ: $(1; -1)$, $(4; 2)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -5, \\ xy - y^2 = 2 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим переменную $x$: $$ x = -5 - y $$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$ (-5 - y)y - y^2 = 2 $$ Раскроем скобки и упростим уравнение: $$ -5y - y^2 - y^2 = 2 $$ $$ -2y^2 - 5y - 2 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным: $$ 2y^2 + 5y + 2 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$ Найдем корни: $$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 $$ $$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 $$ Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = -5 - y$: Если $y_1 = -0.5$, то $x_1 = -5 - (-0.5) = -5 + 0.5 = -4.5$. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -5 - (-2) = -5 + 2 = -3$. Система имеет два решения.

Ответ: $(-4.5; -0.5)$, $(-3; -2)$.