Номер 4, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} u^2 - v^2 + uv = 45, \\ u - 2v = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} u^2 + v^2 - 3uv = -1, \\ 3v - u = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}u^2 - v^2 + uv = 45 \\u - 2v = 0\end{cases}$$

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим u через v:

$u - 2v = 0 \implies u = 2v$

Подставим это выражение для u в первое уравнение системы:

$(2v)^2 - v^2 + (2v)v = 45$

Упростим и решим полученное уравнение относительно v:

$4v^2 - v^2 + 2v^2 = 45$

$5v^2 = 45$

$v^2 = \frac{45}{5}$

$v^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для v:

$v_1 = 3$ и $v_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения u для каждого значения v, используя соотношение $u = 2v$.

1. Если $v_1 = 3$, то $u_1 = 2 \cdot 3 = 6$.

2. Если $v_2 = -3$, то $u_2 = 2 \cdot (-3) = -6$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(6; 3)$, $(-6; -3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}u^2 + v^2 - 3uv = -1 \\3v - u = 1\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим u через v:

$3v - u = 1 \implies u = 3v - 1$

Подставим это выражение для u в первое уравнение системы:

$(3v - 1)^2 + v^2 - 3(3v - 1)v = -1$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$(9v^2 - 6v + 1) + v^2 - (9v^2 - 3v) = -1$

$9v^2 - 6v + 1 + v^2 - 9v^2 + 3v = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$v^2 - 3v + 1 = -1$

$v^2 - 3v + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения:

$v_1 = 1$ и $v_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения u для каждого значения v, используя соотношение $u = 3v - 1$.

1. Если $v_1 = 1$, то $u_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

2. Если $v_2 = 2$, то $u_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; 1)$, $(5; 2)$.