Номер 10, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Имеет ли решения система уравнений $ \begin{cases} x - 3y = 0 \\ x^2 - 2xy = 12 \\ 2x + y^2 = 16? \end{cases} $

При положительном ответе найдите эти решения.

Решение. Решим систему уравнений $ \begin{cases} x - 3y = 0 \\ x^2 - 2xy = 12. \end{cases} $

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения третьему уравнению:

Ответ:

Решение. Решим систему уравнений $\begin{cases} x - 3y = 0, \\ x^2 - 2xy = 12. \end{cases}$

Для начала решим систему, состоящую из первых двух уравнений. Из первого уравнения $x - 3y = 0$ выразим переменную $x$:
$x = 3y$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение $x^2 - 2xy = 12$:
$(3y)^2 - 2(3y)y = 12$
$9y^2 - 6y^2 = 12$
$3y^2 = 12$

Разделим обе части уравнения на 3:
$y^2 = 4$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:
$y_1 = 2$
$y_2 = -2$

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя ранее выведенную зависимость $x = 3y$:
1. При $y_1 = 2$, получаем $x_1 = 3 \cdot 2 = 6$. Первая пара возможных решений: $(6, 2)$.
2. При $y_2 = -2$, получаем $x_2 = 3 \cdot (-2) = -6$. Вторая пара возможных решений: $(-6, -2)$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения третьему уравнению:

Третье уравнение системы: $2x + y^2 = 16$.

1. Проверим пару $(6, 2)$. Подставим значения $x = 6$ и $y = 2$ в уравнение:
$2(6) + (2)^2 = 12 + 4 = 16$
$16 = 16$.
Равенство верное, следовательно, пара $(6, 2)$ является решением исходной системы из трех уравнений.

2. Проверим пару $(-6, -2)$. Подставим значения $x = -6$ и $y = -2$ в уравнение:
$2(-6) + (-2)^2 = -12 + 4 = -8$
$-8 \neq 16$.
Равенство неверное, следовательно, пара $(-6, -2)$ не является решением исходной системы.

Ответ: Да, система имеет решение. Единственным решением системы является пара чисел $(6, 2)$.