Номер 12, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Прямая $y=kx+1$ имеет с окружностью $(x-4)^2+(y-6)=18$ общую точку $M(1; 3)$. Найдите координаты другой общей точки, если она существует.

Поскольку прямая $y=kx+1$ и окружность $(x-4)^2 + (y-6)^2 = 18$ имеют общую точку $M(1; 3)$, координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям.

Сначала найдем значение углового коэффициента $k$ для прямой. Подставим координаты точки $M(1; 3)$ в уравнение прямой $y=kx+1$:

$3 = k \cdot 1 + 1$
$3 = k + 1$
$k = 2$

Таким образом, уравнение прямой имеет вид $y = 2x + 1$.

Чтобы найти координаты всех общих точек, решим систему уравнений, состоящую из уравнений прямой и окружности:

$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ (x-4)^2 + (y-6)^2 = 18 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x-4)^2 + ((2x+1)-6)^2 = 18$
$(x-4)^2 + (2x-5)^2 = 18$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x^2 - 8x + 16) + (4x^2 - 20x + 25) = 18$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

$5x^2 - 28x + 41 = 18$
$5x^2 - 28x + 23 = 0$

Корнями этого уравнения являются абсциссы точек пересечения. Мы знаем, что одна из точек пересечения — это $M(1; 3)$, значит, один из корней этого уравнения равен $x_1 = 1$. Для нахождения второго корня $x_2$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно ей, для уравнения $ax^2+bx+c=0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

$1 \cdot x_2 = \frac{23}{5}$
$x_2 = \frac{23}{5}$

Теперь найдем ординату второй общей точки, подставив найденное значение $x_2$ в уравнение прямой $y = 2x + 1$:

$y_2 = 2 \cdot \frac{23}{5} + 1 = \frac{46}{5} + \frac{5}{5} = \frac{51}{5}$

Следовательно, координаты другой общей точки — $(\frac{23}{5}; \frac{51}{5})$.

Ответ: $(\frac{23}{5}; \frac{51}{5})$.