Номер 1, страница 4, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Не решая систему уравнений, выясните, имеет ли система ре-

шения, и если имеет, то сколько:

a) $\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2.5x + y = 6 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2.5x + y = 1.5 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases}$

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

Ответ:

a) ........................

б) ........................

в) ........................

г) ........................

а) Для системы уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ количество решений можно определить, сравнив отношения коэффициентов. В данной системе $ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases} $ коэффициенты равны: $a_1 = 5$, $b_1 = 2$, $a_2 = 2$, $b_2 = 5$.

Сравним отношение коэффициентов при $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{5}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (так как $\frac{5}{2} \neq \frac{2}{5}$), угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками уравнений, различны. Это означает, что прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.
Ответ: одно решение.

б) Рассмотрим систему $ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2,5x + y = 6 \end{cases} $. Здесь коэффициенты: $a_1 = 5$, $b_1 = 2$, $c_1 = 3$ и $a_2 = 2,5$, $b_2 = 1$, $c_2 = 6$.

Найдем отношения коэффициентов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2,5} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Мы видим, что выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (так как $2 = 2 \neq \frac{1}{2}$). Это означает, что графики уравнений — это параллельные прямые, которые не совпадают. Такие прямые никогда не пересекаются.
Ответ: нет решений.

в) Рассмотрим систему $ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ 2,5x + y = 1,5 \end{cases} $. Здесь коэффициенты: $a_1 = 5$, $b_1 = 2$, $c_1 = 3$ и $a_2 = 2,5$, $b_2 = 1$, $c_2 = 1,5$.

Найдем отношения коэффициентов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2,5} = 2$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{3}{1,5} = 2$

В данном случае выполняется условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (так как $2 = 2 = 2$). Это означает, что второе уравнение можно получить из первого путем деления всех его членов на 2. Графики этих уравнений — это одна и та же прямая. Следовательно, любая точка этой прямой является решением.
Ответ: бесконечно много решений.

г) Рассмотрим систему $ \begin{cases} 5x = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases} $. Перепишем ее в стандартном виде: $ \begin{cases} 5x + 0y = 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases} $. Коэффициенты: $a_1 = 5$, $b_1 = 0$, $a_2 = 2$, $b_2 = 5$.

Сравним отношение коэффициентов при $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{0}{5} = 0$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (так как $\frac{5}{2} \neq 0$), графики уравнений пересекаются в одной точке. Первое уравнение $x=3/5$ задает вертикальную прямую, а второе - наклонную. Эти прямые не параллельны и обязательно пересекутся.
Ответ: одно решение.