Номер 11, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Имеют ли общие точки графики уравнений $2x + y^2 = 19, x^2 + 2y^2 = 34$?

Чтобы определить, имеют ли графики уравнений общие точки, необходимо найти решения системы этих уравнений. Если система имеет действительные решения, то графики пересекаются, и эти решения являются координатами общих точек.

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x + y^2 = 19 & (1) \\ x^2 + 2y^2 = 34 & (2) \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Из первого уравнения (1) выразим $y^2$:
$y^2 = 19 - 2x$

Теперь подставим это выражение для $y^2$ во второе уравнение (2):
$x^2 + 2(19 - 2x) = 34$

Решим полученное уравнение относительно переменной $x$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 38 - 4x = 34$
$x^2 - 4x + 38 - 34 = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом разности:
$(x - 2)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующие значения $y$. Подставим $x = 2$ в выражение для $y^2$, которое мы получили ранее:
$y^2 = 19 - 2x$
$y^2 = 19 - 2(2)$
$y^2 = 19 - 4$
$y^2 = 15$

Из этого уравнения находим два действительных значения для $y$:
$y_1 = \sqrt{15}$ и $y_2 = -\sqrt{15}$

Таким образом, система уравнений имеет два действительных решения: $(2, \sqrt{15})$ и $(2, -\sqrt{15})$. Это означает, что графики данных уравнений пересекаются в двух точках.

Ответ: да, графики уравнений имеют две общие точки. Их координаты: $(2, \sqrt{15})$ и $(2, -\sqrt{15})$.