Номер 6, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Решите систему уравнений методом сложения:

$\begin{cases} 5x^2 + 2y^2 = 52, \\ 5x^2 - 2y^2 = -12; \end{cases}$

$10x^2 = 40;$

$4y^2 = 64;$

$x^2 = 4;$

$4y^2 = 16;$

$x_1 = -2;$

$y_1 = -4;$

$x_2 = 2;$

$y_2 = 4.$

Ответ: $(-2; -4)$; $(-2; 4)$; $(2; -4)$; $(2; 4).$

a) $\begin{cases} y^2 - x^2 = -13, \\ y^2 + x^2 = 85; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y^2 - 3x^2 = 61, \\ y^2 + 3x^2 = 67. \end{cases}$

a) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y^2 - x^2 = -13, \\ y^2 + x^2 = 85. \end{cases} $$

Для решения системы используем метод сложения. Сначала сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x^2$:

$(y^2 - x^2) + (y^2 + x^2) = -13 + 85$

$2y^2 = 72$

$y^2 = 36$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 6$ и $y_2 = -6$.

Теперь вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $y^2$ и найти $x$:

$(y^2 + x^2) - (y^2 - x^2) = 85 - (-13)$

$y^2 + x^2 - y^2 + x^2 = 85 + 13$

$2x^2 = 98$

$x^2 = 49$

Отсюда находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Поскольку в уравнения входят только квадраты переменных, любая комбинация найденных значений $x$ и $y$ будет решением. Таким образом, получаем четыре пары решений $(x; y)$.

Ответ: $(-7; -6)$, $(-7; 6)$, $(7; -6)$, $(7; 6)$.

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y^2 - 3x^2 = 61, \\ y^2 + 3x^2 = 67. \end{cases} $$

Решим эту систему также методом сложения. Сложим уравнения, чтобы найти $y$:

$(y^2 - 3x^2) + (y^2 + 3x^2) = 61 + 67$

$2y^2 = 128$

$y^2 = 64$

Находим значения $y$:

$y_1 = 8$ и $y_2 = -8$.

Далее, вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $x$:

$(y^2 + 3x^2) - (y^2 - 3x^2) = 67 - 61$

$y^2 + 3x^2 - y^2 + 3x^2 = 6$

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1$

Находим значения $x$:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Составляем все возможные пары решений $(x; y)$, которые удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(-1; -8)$, $(-1; 8)$, $(1; -8)$, $(1; 8)$.