Номер 3, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Для графического решения одной из указанных систем уравнений построены графики, изображённые на рисунке. Выберите эту систему.

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ 2x - y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ y - 2x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ 2x + y = 2. \end{cases}$

Для того чтобы выбрать систему уравнений, соответствующую графикам на рисунке, необходимо сначала определить уравнения этих графиков — окружности и прямой. Затем мы проверим, какой из предложенных вариантов соответствует найденным уравнениям.

Анализ графика окружности:

Уравнение окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R$ имеет общий вид $x^2 + y^2 = R^2$. Из графика видно, что окружность пересекает оси координат в точках $(4, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, 4)$ и $(0, -4)$. Это означает, что радиус окружности $R = 4$. Подставляя это значение в общее уравнение, получаем: $x^2 + y^2 = 4^2$, что равносильно $x^2 + y^2 = 16$. Данное уравнение присутствует во всех трех предложенных системах.

Анализ графика прямой:

Чтобы определить уравнение прямой, найдем координаты двух точек, через которые она проходит. Из графика видно, что прямая пересекает ось Y в точке $(0, 2)$ и ось X в точке $(1, 0)$. Теперь поочередно проверим уравнения прямых из каждой системы.

а) Система: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ 2x - y = 2. \end{cases}$

Проверим, проходит ли прямая $2x - y = 2$ через точки $(1, 0)$ и $(0, 2)$.

Подставляем точку $(1, 0)$: $2 \cdot 1 - 0 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.

Подставляем точку $(0, 2)$: $2 \cdot 0 - 2 = -2$. Равенство $-2 = 2$ неверное.

Поскольку прямая не проходит через точку $(0, 2)$, эта система не подходит.

Ответ: не подходит.

б) Система: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ y - 2x = 2. \end{cases}$

Проверим, проходит ли прямая $y - 2x = 2$ через точки $(1, 0)$ и $(0, 2)$.

Подставляем точку $(1, 0)$: $0 - 2 \cdot 1 = -2$. Равенство $-2 = 2$ неверное.

Поскольку прямая не проходит через точку $(1, 0)$, эта система не подходит.

Ответ: не подходит.

в) Система: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ 2x + y = 2. \end{cases}$

Проверим, проходит ли прямая $2x + y = 2$ через точки $(1, 0)$ и $(0, 2)$.

Подставляем точку $(1, 0)$: $2 \cdot 1 + 0 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.

Подставляем точку $(0, 2)$: $2 \cdot 0 + 2 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.

Обе точки принадлежат данной прямой. Уравнение окружности также соответствует графику. Следовательно, эта система является правильной.

Ответ: подходит.