Номер 7, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. При каких значениях k система уравнений $\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 31, \\ x + y = k \end{cases}$ не имеет решений?

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 31 \\ x + y = k \end{cases} $$ Система не имеет решений, если при решении методом подстановки мы получим квадратное уравнение, которое не имеет действительных корней.

Выразим переменную $x$ из второго уравнения: $$ x = k - y $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ (k - y)^2 - 3y^2 = 31 $$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения относительно переменной $y$: $$ k^2 - 2ky + y^2 - 3y^2 = 31 $$ $$ -2y^2 - 2ky + k^2 - 31 = 0 $$

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$: $$ 2y^2 + 2ky - (k^2 - 31) = 0 $$ $$ 2y^2 + 2ky + (31 - k^2) = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Исходная система не будет иметь решений в том и только в том случае, если это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Условием отсутствия действительных корней является отрицательный дискриминант ($D < 0$).

Найдем дискриминант $D$ для этого уравнения, где коэффициенты $a=2$, $b=2k$, $c = 31 - k^2$: $$ D = b^2 - 4ac = (2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (31 - k^2) $$ $$ D = 4k^2 - 8(31 - k^2) $$ $$ D = 4k^2 - 248 + 8k^2 $$ $$ D = 12k^2 - 248 $$

Теперь решим неравенство $D < 0$: $$ 12k^2 - 248 < 0 $$ $$ 12k^2 < 248 $$ $$ k^2 < \frac{248}{12} $$

Сократим дробь в правой части неравенства на 4: $$ k^2 < \frac{62}{3} $$

Это неравенство выполняется, когда $k$ находится в интервале между $-\sqrt{\frac{62}{3}}$ и $\sqrt{\frac{62}{3}}$: $$ -\sqrt{\frac{62}{3}} < k < \sqrt{\frac{62}{3}} $$

Следовательно, система уравнений не имеет решений, когда значение $k$ принадлежит данному интервалу.

Ответ: $k \in (-\sqrt{\frac{62}{3}}; \sqrt{\frac{62}{3}})$.